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曲线的曲率
说明 * 第七节 曲线的曲率 曲线弯曲程度是描述曲线局部性质的一个重要标志, 它与哪些因素有关? 怎样度量曲线的弯曲程度？ 提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均弯曲程度. 观察：观察曲线的弯曲线程度与哪些因素有关. 怎样衡量曲线的弯曲程度？ 定义3-7:设曲线C是光滑的? 曲线上点M对应于弧s? 在点M处切线的倾角为a? 曲线上另外一点N对应于弧s?Ds? 在点N处切线的倾角为a?Da ? 曲率的计算公式: 设曲线C的方程为y?f(x)? 且f(x)有二阶导数, 因为 两边微分得: 见p87中间 (2) 若曲线由参数方程 给出时, (3) 若曲线方程为 则 (1) 曲线C方程为y?f(x)时, 求直线L上任意一点处的曲率. 由曲率公式可知, 直线上任意一点处的曲率K=0. 例3-28 不妨认为直线L的方程为y=ax+b. 解: 可得: 因此在点(a,a)处 例3-29 解: 上述圆叫做曲线在点M处的曲率圆? 其圆心叫做曲率中心? 其半径r叫做曲率半径? 曲率与曲率半径关系 定义3-8 设曲线在点M处的曲率为K(K?0), 曲率圆 曲率半径 曲率中心 曲率圆与曲率半径 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M且半径为 =K-1的圆. 例3-30 设工件表面的截线为抛物线y?0.4x2. 现在要用砂轮磨削其内表面. 问用直径多大的砂轮才比较合适？ 解: 砂轮半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径? 抛物线顶点处的曲率半径为 r=K-1?1.25? 因此, 选用砂轮的半径不得超过1.25单位长? 即直径不得超过2.50单位长? y?|x?0?0? y??|x?0?0.8? 因为 y??0.8x? y???0.8? * * * * *
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