E(x)D(x)专用课件.ppt

第四章 引言 一、数学期望 问题：随机变量的均值应如何定义？ 例如，甲、乙两射手，各射击十次，X,Y分别表示他们射中的环数，如表： 解：现求在这十次射击中，平均击中的环数： 1.?离散型随机变量的数学期望 (1)定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk ，k=1,2,…,若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即 (2)E(X)作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。 例1: 设有某种产品投放市场，每件产品投放可能发生三种情况：按定价销售出去，打折销售出去，销售不出去而回收。根据市场分析，这三种情况发生的概率分别为0.6，0.3，0.1。在这三种情况下每件产品的利润分别为10元，0元，－15元（即亏损15元）。问厂家对每件产品可期望获利多少？ 例2: 在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N个人的血，可以用两种方法进行。(1)将每个人的血都分别去验，这就需验N次，(2)按k个人一组进行分组，把从k个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k个人的血都呈阴性反应，这样，这k个人的血就只需验一次，若呈阳性，则再对这k个人的血液分别进行化验，这样，这k个人的血总共要化验k+1次。假设每个人化验呈阳性的概率为p，且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p较小时，选取适当的k，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明k取什么值时最适宜。 解: 各人的血呈阴性反应的概率为q=1-p。因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为qk，k个人的混合血呈阳性反应的概率为1-qk。 设以k个人为一组时，组内每人化验的次数为X，则X是一个随机变量，其分布律为 由此可知，只要选择k使:1-qk+(1/k)1，则N个人平均需化验的次数N，当p固定时，选取k使得L=1-qk+(1/k)小于1且取到最小值，这时就能得到最好的分组方法。 例如，p=0.1，则q=0.9，当k=4时,L=1-qk+(1/k)取到最小值。此时得到最好的分组方法。若N=1000，此时以k=4分组，则按第二方案平均只需化验 (2)几种典型的离散型随机变量的数学期望 i. X服从参数为p的(0,1)分布：E(X)=0×(1-p)+1×p=p； ii. 若X?b(n,p),则E(X)=np； 证明：X的分布律为 iii.若X?π(λ)，则E(X)=λ。 证明：X的分布律为 例1．若X? N(μ,σ2)，求E(X)。 解：X的概率密度为： (1) 几个常见连续型随机变量的数学期望 i.若X?U(a,b),则E(X)=(a+b)/2. 证：X的概率密度为 3.随机变量的函数的数学期望 定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)， (1) X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk ，k=1，2，…， 若 绝对收敛，则有 注释 A.在计算随机变量的函数Y=g(X)的期望时，我们可以先确定Y=g(X)的分布进而计算函数Y的期望E(Y)。但由前两章的讨论可以看出，确定Y=g(X)的分布并不容易。因此在计算随机变量函数的期望时，我们一般利用定理的结论去计算。定理的重要意义在于当我们求E(Y)时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布就可以了。 B.在计算一些分布较复杂甚至难以确定的随机变量的期望时，如能将X表示成有限个简单随机变量之和，那么利用期望的性质计算就可大大简化我们的问题。这也是计算期望的一个技巧。 C.上述定理还可以推广到二个或二个以上随机变量的函数情况。例如，设Z是随机变量X，Y的函数Z=g(X，Y)(g是连续函数)，那么，Z也是一个随机变量，若二维随机变量(X，Y)的概率密度为f(x，y)则有 例1: 有5个相互独立工作的电子装置，它们的寿命Xk(k=1，2，3，4，5)服从同一指数分布，其概率密度为(θ0) ????????? 由第三章知，M=max(X1，X2，X3，X4，X5)的分布函数为 注 对任意的随机变量，其数学期望不一定存在。 例如 (1)随机变量X的取值为 三、数学期望的性质 数学期望具有以下几条重要性质(设以下所遇到的随机变量的期望是存在的)： (1) C为常数,则有E(C)=C； (2) 设X是一个随机变量，C常数，则有E(CX)=CE(X)； (3) 设X，Y是两个随机变量，则有 E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况: (4) 设X，Y是相互独立的随机变量，则有:E(XY)=E(X)E(Y)