弧长的公式扇形面积公式及其应用.doc

弧长与扇形面积、圆锥侧面积 【知识详解】 知识点1、弧长公式 因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是，于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式：， 说明：（1）在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”，例如，圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧长l时，不要错写成。 （2）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。 ? 知识点2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计算公式是。 又因为扇形的弧长，扇形面积，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：。 知识点3、圆锥的侧面积 圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积 说明：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。 （2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。 知识点4、圆柱的侧面积 圆柱的侧面积展开图是矩形，如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积，圆柱的全面积 圆锥与圆柱的比较 名称 圆锥 圆柱 图形 图形的形成过程 ? 由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。 由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。 图形的组成 一个底面和一个侧面 两个底面和一个侧面 侧面展开图的特征 扇形 矩形 面积计算方法 ? 补充：知识点5、弓形的面积 （1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。 （2）弓形的周长＝弦长＋弧长 （3）弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB的面积和△AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。 当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，? 当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示， 例：如图所示，⊙O的半径为2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 （??????? ）（结果用表示） 分析：由图可知由圆周角定理可知∠ABC＝∠AOC，所以∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以 ， 所以 注意：（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。 ? 圆周长 弧长 圆面积 扇形面积 公 式 （2）扇形与弓形的联系与区别 图 示 面 积 【典型例题】 例1.如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，则阴影部分的面积是（???? ）A. ???????B. ????????C. ????????D. 分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为， 所以 例2.如图所示，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC，BC，AB＝10厘米，tan∠BAC＝，求阴影部分的面积。 分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°，（2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。 解：因为AB为直径，所以∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝10， tan∠BAC＝，而tan∠BAC＝ 设BC＝3k，AC＝4k，（k不为0，且为正数）由勾股定理得 所以BC＝6，AC＝8，，而 所以 ? 例3.如图所示，已知扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为（??? ） 分析：连接OD，由正方形性质可知∠EOD＝∠DOC＝45°，在Rt△OED中，OD＝， 因为正方形的边长为1，所以OE＝DE＝1，所以，设两部分阴影的面积中的一部分为M，另一部分为N，则，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P， 因为∠BOD＝∠DOC，所以 所以M＝P，所以 ? 例4. 如图所示，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。 分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的，所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。 解：作DH