一位小五学生解分数单位量等分割问题的表现.doc

一位小五學生解分數單位量等分割問題的表現 洪繼賢 劉祥通 國立嘉義大學數學教育研究所 （投稿日期：93年3月24日；修正日期：93年5月26日；接受日期：93年5月28日） 摘要 本研究旨在探討一位小五學生在分數單位量等分割問題上的解題表現。研究方法為個案研究，採半結構式晤談法進行訪談。訪談問題分為明確的單位量與暗隱的單位量兩部份，每部份各3題，共6題。重要發現如下：（1）在明確的單位量試題上，雖有較好的表現，但在畫不同單位分數時，沒有維持「單位量的等長性」。（2）在暗隱的單位量試題上，他忽略了單位量的大小關係，直接從倍數判斷，以致解題失敗。 關鍵字：單位量、等分割、分數、解題 壹、緒論 分數在許多小朋友的眼中，只是分子在上、分母在下的一個符號，它能做加、減、乘、除的運算，如此而已，在日常生活之中便一無用處。然而，分數是國民小學數學課程中的一個劉秋木，1996與，＞的零用錢，買圍巾花掉她的的零用錢，請問哪一種東西比較貴？」，此問題是明確單位量（小琪的零用錢）的問題；而「小英拿她自己零用錢的去買糖果，小明拿他自己零用錢的去買糖果，請問小英與小明誰花的零用錢多？」，此問題是暗隱單位量（小英的零用錢與小明的零用錢）的問題。對於這樣的問題，學生更容易忽略了單位量可能不同。因此，期望學生解題時能注意並正確指認出單位量就愈顯得格外困難。 由此可知，單位量的明確性確實是影響解題成功與否的重要因素之一。因此，研究者試著以明確單位量與暗隱單位量兩種不同類型的分數問題，來探討學生在分數單位量等分割問題上的解題表現。 貳、文獻探討 為了回應上述研究問題，文獻探討分為單位、單位量與單位數、與單位量指認三部分作介紹，以下分別敘述之： 一、單位 當我們測量一個量有「多少」的同時，需要決定並使用一種「單位」來測量這個量有多少。Euclid說過：「所謂的單位是指存有而被稱為一的事物」。兒童能否找到適當的單位，將指定的部分量分盡，再利用這個單位重組成全部或集合，這種能力即為「單位形成能力」，此能力是兒童能否解決分數問題的關鍵（Saenz-Ludlow, 1994；1995）。Lamon（1999）提出所謂的單位就是一個物件，可分為「單項單位」（singleton unit）與「集聚單位」（composite unit）。以買披薩為例：「單項單位」可以為單一披薩，即為一單位(one－unit)；或大於一個以上，如三個，則此時即為三單位(3 one－units or 3 units)。若一袋冷凍的披薩內有三個，則此時所購買的一袋(1 three-unit)即為「集聚單位」。而同樣的一個量，所測量的值會隨著單位的不同有所改變，其值的大小，就要視單位的選擇。舉例來說： 此時的單項單位是以「個」為單位，有3個披薩；而集聚單位則是以「袋」為單位，有一袋披薩。如果吃掉了2個披薩，以「個」而言，是吃了2個披薩；若以「袋」而言，則是吃了袋的披薩。2個披薩卻有著2與兩種大不相同的值，其原因就取決於單位的不同。因此，單位的型態可說是千變萬化，所測量出的值也會隨著單位的不同而不同，就端看自己如何去選擇。 二、單位量與單位數 單位量在數與量的概念中佔有很重要的地位，Gauss提出單位量的概念，當為了獲得一個與一待測定量相等的量時，一個已知量，或是此單位的一個被等分割部分，可重複累積複製此被界定量（甯自強，1998），此已知量即為單位量，所需被重複纍積的次數為單位數。換言之，單位量即為度量的標準，表示以某一量為基本單位，可能是以1為基本單位，亦可能是以非1（如大於1的數或分數）為單位；而所謂的單位數則是表示有幾個基本單位量。例如5個梨子中，以「個」當作單位，則「1」是單位量，「5」是單位數；二打鉛筆中，以「打」為單位時，「打」或「12」是單位量，「2」是單位數 （台灣省國民學校教師研習會，1996）。又如右圖所示，如果將整個正方形視為一個基本單位，則灰色面積則為個基本單位量，此時是以1為基本單位，為單位數；反之，若將個正方形視為一個基本單位，則灰色面積則為3個基本單位量，也就是以為基本單位，3為單位數。亦即，可將灰色面積看成個正方形，也可以看成3個正方形。 而單位量與單位數之間的角色可以互換，以上圖灰色面積為例，若以「正方形」為單位，則「1」是單位量，「」是單位數；若以「個正方形」為單位，則「」為單位量，「1」為單位數，這就是單位量與單位數之間的互換。 三、單位量指認 學童在處理部分/整體，子集/集合或數線的分數問題時，常常會有指認單位量的困難。Figueras（1989）根據Mack（1990）的論述：「茱莉訂了兩個披薩，斜線部份是他吃掉的，請問茱莉共吃了多少個披薩？」，正確答案是「」