实验二、定积分的近似计算.ppt

实验二 定积分近似计算 主要内容 定积分的近似 矩形法 矩形法举例 补：函数句柄 补：匿名函数 补：匿名函数 矩形法举例 定积分几何意义 梯形法 梯形法 梯形法举例 抛物线法 抛物线法 抛物线法 抛物线法 主要内容 trapz trapz 举例 quad quad 举例 integral integral2 integral2 int 相关函数 数值实验 数值实验 上机作业 上机要求 没有提到使用Matlab函数的题必须使用编程完成 要求使用Matlab函数或命令的必须使用函数或命令 使用课程主页上的附录程序 要求： 教材第 75 页：2、3、6 要求填写实验报告 上机作业 将所编写的程序分别命名为 hw221.m, hw222.m, hw231.m, hw261.m, hw262.m 将所有文件作为附件，通过 foxmail 以邮件形式发给 mhjs@system.mail 邮件主题为：机号-学号-姓名，其中机号为 两位数 三个字段之间用英文状态下的减号连接 每个 M 文件的第一行添加一条注解语句:% 机号-学号-姓名 上机要求 * * 定积分的近似计算 定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要介绍计算定积分的三种基本近似算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。 问题背景和实验目的 矩形法 梯形法 抛物线法 计算定积分的基本数值算法 Matlab 计算积分的相关函数 数值积分函数 trapz、quad、integral、integral2 符号积分函数：int 定积分的定义 n 充分大，?x 充分小 取 点 的常见取法：左端点，右端点或中点 节点 步长 左 点 法 右 点 法 中 点 法 用三种不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )，并比较这三种方法的相对误差。 左点法： 右点法： 中点法： 解： h =1/n=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 (i = 0, 1, 2, ..., 100) 例： fuluA.m 函数句柄的定义 fhandle = @ 函数名 函数句柄：可以理解成一个函数的代号或别名，调用函数句柄就等价于调用该函数。 @ 的作用就是将一个函数的函数句柄赋值给左边的变量 例： f = @sin; y = f(pi/3) 匿名函数的定义 f = @ (变量列表) 表达式 例： f = @(x) 1/(1+x*x); % 一个自变量 y = f(2) whos f % f 是一个函数句柄 匿名函数是 MATLAB的一种函数描述形式，可以让用户编写简单的函数而不需要创建M文件，并且具有很高的执行效率。 f = @(x,y) x^2 + y^2; % 两个自变量 y = f(2,3) % 注意对应关系 这里返回的 f 是一个函数句柄（function handle） 匿名函数中可以采用数组运算，以便作用在向量或数组上 例： f = @(x) 1./(1+x.*x); % 一个自变量 x1 = 0 : 0.01 : 1; % x1 是向量 y1 = f(x1); % f 是作用在向量 x1 的每个分量上 如果需要同时计算函数在多个点上的值，可以将函数直接作用在向量上，但此时函数的定义中必须采用数组运算！ 理论值： 左点法相对误差： 相对误差分析 右点法相对误差： 中点法相对误差： 不同的算法有不同的计算精度 有没有更好的近似计算定积分的方法 ? 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 整个曲边梯形的面积： 如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： 则 梯形公式 梯形公式与中点公式有什么区别 ? 解： == 例：用梯形法计算定积分 ( 取 n=100 )，并计算相对误差 a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) == h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) 相对误差： fuluB.m n 等分区间 [a,b] ，得 用抛物线代替该直线，计算精度是否会更好？ 计算节点和中点上的函数值： 在区间 [xi-1, xi] 上，用过以下三点 的抛物线来近似原函数 f (x) 。 设过以上三点的抛物线方程为： 则在区间 [xi-1, xi] 上，有