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求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。 二、利用 例2．若和分别表示数列和的前项和，对任意正整数 ，.求数列的通项公式； 解： ……2分 当 当……4分 练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，② 由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0 ∵an+an－10 ， ∴an－an－1=5 (n≥2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3 2．（2006年全国卷I）设数列的前项的和 ， （Ⅰ）求首项与通项； （Ⅱ）设，，证明： 解：（I），解得： 所以数列是公比为4的等比数列 所以： 得： （其中n为正整数） （II） 所以： 三、累加法 例3 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例4 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例5已知数列满足，求数列的通项公式。 解：两边除以，得， 则，故 因此， 则 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 四、累乘法 例6 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以，则，故 所以数列的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。 例7已知数列满足，求的通项公式。 解：因为 ① 所以 ② 用②式－①式得 则 故 所以 ③ 由，，则，又知，则，代入③得。 所以，的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。 五.构造等差或等比或 例8（2006年福建卷）已知数列满足 求数列的通项公式； 解： 是以为首项，2为公比的等比数列。 即　 例9．已知数列中，,，求。 解：在两边乘以得： 令，则,解之得： 所以 练习. 已知数列满足，且。 （1）求； （2）求数列的通项公式。 解： （1） （2） ∴ 六、待定系数法 例10已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ④ 将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤ 由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 例11 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ⑥ 将代入⑥式，得 整理得。 令，则，代入⑥式得 ⑦ 由及⑦式， 得，则， 故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。 例12 已知数列满足，求数列的通项公式。 解：设 ⑧ 将代入⑧式，得 ，则 等式两边消去，得， 解方程组，则，代入⑧式，得 ⑨ 由及⑨式，得 则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。 评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 七、对数变换法 例13 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：因为，所以。在式两边取常用对数得 ⑩ 设 将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则 ，故 代入式，得 由及式， 得， 则， 所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此 则。 评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。 八、迭代法 例14已知数列满足，求数列的通项公式。 解：因为，所以 又，所以数列的通项公式为。