第一章行列式-MING.ppt

例： D 用消元法解线性方程组 两式相减，消去 ， (1.1) 六. n 元线性方程组 方程组的解为 类似的，消去 (1.2) 利用二阶行列式的概念，把分子也可以写成 因此，方程组（1.1）的解的公式可简单地表示为： (1.3) 例1.3 解二元线性方程组 解： 由公式（1. 3）得 求解三元线性方程组 记 (1.5) 其中D为系数行列式， (i=1,2,3)为将D中的第i列元素依次换为方程组(1.5)中的常数项所得的三阶行列式. 若 方程组（1.5）的公式解可简洁地表示为： (1.6) 例1.4 解三元线性方程组 解： 得 Cramer 法则 Cramer法则： 如果线性方程组 的系数行列式不等于零， 即 则线性方程组(11)有唯一解， 其中 证明： 再把 n 个方程依次相加，得 当 D≠0 时,方程组(1)也即(11)有唯一的解 于是 例1：用 Cramer 法则解线性方程组。 在工程上的应用 许多工程上的问题，特别是电子工程和控制论，能用拉普拉斯变换进行分析。 技巧：将一个适当的线性方程组转变成一个线性代数方程组，他的系数含有一个参数 例：二阶电路如下，其中电容电压的初始值为 ，电感电流的初始值为 根据该电路列写电路方程为 其电路电流为： 因此： 所以，电路方程为： 方程 的特征方程为 例：考虑下列方程组，其中s是一个未定的参数，确定s的值，使得这个方程组有唯一解。 解：视此方程组为 型，则 由于 ，当且仅当 时，有唯一解。 七. 行列式与秩 几何观点: 线性无关 ?? 秩为 n ?? 生成的空间的维数 = n ?? n 维体积 不为 0 代数运算: det A不为0 ?? A = 0 只有零解 , x1A1+…+xnAn=0 只有零解. A1,A2,…,An 线性无关. 行列式秩: 存在r阶子行列式不为0, 对应的各列(行)线性无关. 定理1.2 全部n(n≥2)级排列中奇偶排列各占一半，且为 个 证明 设全部n级排列中有s个奇排列和n个偶排列，则s+ t=n!. 把每个奇排列的最左边的两个数对换. 由定理1.1可知s个奇排列都变成偶排列，且它们彼此不同. 即以s≤t； 把每个偶排列的最左边的两个数对换，同理可得t≤s. 故必有s=t= 。 　　比如，三级排列中，在所有3！=6种排列中，有三个奇排列：321, 213, 132；偶排列有三个：123, 231, 312. 六 行列式的性质 称 DT 为 D 的转置行列式。 设 则 D 经过“行列互换”变为 DT 性质1：行列式与它的转置行列式相等。 证明：设 则 由行列式定义 性质2：互换行列式的两行 ( 列 )，行列式变号。 互换 s、t 两行： 互换 s、t 两列： “运算性质” 推论：若行列式有两行（列）相同， 则行列式为 0 。 性质3：用非零数 k 乘行列式的某一行（列）中 所有元素，等于用数 k 乘此行列式。 “运算性质” 用 k 乘第 i 行： 用 k 乘第 i 列： 推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到 行列式符号外面。 性质4：若行列式有两行（列）的对应元素成比 例，则行列式等于0 。 性质5：若某一行是两组数的和，则此行列式就等 于如下两个行列式的和。 性质6：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同 一数 k 后再加到另一行（列）对应的元素 上去，行列式的值不变。 用数 k 乘第 t 行加到第 s 行上： 用数 k 乘第 t 列加到第 s 列上： “运算性质” 利用行列式性质计算： （化为三角形行列式） 例：计算 例：计算 “行等和”行列式 例：设 证明： 0 证明：利用行的运算性质 r 把 化成下三角形， 再利用列的运算性质 c 把 化成下三角形， 对 D 的前 k 行作运算 r，后 n 列作运算 c, 则有 例 例: 证明范德蒙德( Vandermonde )行列式 证明：用数学归纳法 (1) 当 n = 2 时, (2) 设 n－1 阶范德蒙德行列式成立, 则 = 有 个因子! 例