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正态分布 频率和概率概念复习 关于频率和概率： 频率：对于随机事件A，在相同的条件下进行了n次实验，事件A发生的次数为ｍ，比值ｍ/n为频率 ，记为fn(A) 概率:描述某随机事件Ａ发生的可能性大小，记为P(A) 当ｎ??时，频率fn(A) ?概率 P(A) 例:在某地区7岁正常发育的男孩中随机抽110个人，测量他们的身高，并以身高观察值(cm)为数据，试刻画７岁男孩身高分布。 复习频数分布和频率分布性质 频率密度图(纵坐标为频率/组距) 频率密度图性质 频率密度图性质(n?∞) 频率密度图性质(n?∞) 频率密度图性质(n?∞) 概率密度曲线 正态分布的概率密度 正态曲线（normal curve）：高峰位于中央，两侧逐渐下降并完全对称，曲线两段永远不与横轴相交的钟型曲线。 正态曲线的函数表达式 称为正态分布密度函数： 正态分布的参数 如果变量X的概率密度函数服从上述函数，则称该变量服从正态分布。记做 总体均数(位置参数) ：描述正态分布的集中趋势的位置 总体标准差(变异度参数) ：描述正态分布离散趋势， 越小，分布越集中，曲线形状越“瘦高”；反之越“矮胖”。 正态曲线的形状由 , 两个参数决定 不同参数的正态分布曲线 不同参数的正态分布曲线 正态分布曲线的特点 始终位于横轴上方 关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 处有拐点，表现为钟形 靠近 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味着正态分布变量取值靠近 处的概率较大,两边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0 正态分布曲线下面积 正态分布变量X的取值为(-∞,∞) 任意两点x1，x2且(x1?x2)，X在 (x1, x2)范围内取值的概率P,即正态分布曲线在(x1, x2)下面积 正态分布曲线的对称性质 设Ｘ服从 ，则正态曲线在Ｘ=?处对称，正态曲线(-∞, ?)处的曲线下面积为0.5, 正态分布曲线下面积 求概率 　　　　相当于正态分布曲线段(a,b)下的面积 例：求 范围内曲线下面积 正态分布曲线下的特殊位置的面积 标准正态分布N(0,1) 对任意一个正态分布可以进行标准化变换，U变换 变换后的随机变量U服从标准正态分布, 　　　即：Ｕ~N(0,1) 标准正态分布曲线下面积 表、图 正态分布的特色点的概率 标准正态分布的概率计算 例2.18：设Ｘ服从标准正态分布， 　求概率P(-0.3 X -1.83) 解：即：求标准正态分布曲线下在 　（-1.83，-0.30）范围内的面积 标准正态分布的概率计算 是 又如：设Ｘ服从标准正态分布，求概率 P(X0.3) 解：标准正态分布关于X=0对称，所以 P(X0.3)=P(X-0.3)= 正态分布的概率计算 例2.19 例2.1中已得110名7岁男孩身高(121.9?4.5)，现欲估计该地1995年身高界于116.7cm 到119.1cm范围内的7岁男童的概率。 解：由该例的频数图可知， 可以认为7岁男孩身高近似服从正态分布，由于本例样本量较大，不妨假定： 正态分布的概率计算 作标准化变换： X１=116.7 X2=119.1 正态分布的概率计算(续) 7岁男童的身高界于116.7cm 到119.1cm的概率为 问题：同上：但求身高界于116.7cm 到130.0cm的概率。 解：用标准化变换，得到u1=-1.16,u2=1.8 正态分布的概率计算(续) 计算概率为 正态分布应用 确定医学参考值范围 医学参考值范围---决大多数正常人的某项指标值范围 ”正常”人群：排除了影响所研究指标的疾病和有关因素的同质人群 大多数个体；90%，95%，99%等 统计方法 百分位数法:任何分布的指标 正态分布法:服从正态分布的指标 注意:根据研究背景确定单双侧范围 确定医学参考值范围 例2.21 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95%医学参考值范围 具体步骤如下： 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排除标准。这类研究一般要求参加体检并且要求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均正常的对象。 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均属于不正常（双侧范围）。 确定医学参考值范围（续） 血红蛋白检测的容许误差和研究背景容许误差的范围，确定受检者的样本量。 由于在实际研究中，总体均数和方差均不知道的，需要用样本资料进行估计，所以一般至少在100人以上，这样参数估计的平均误差是资料的离散程度的１/10