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3.5数值微分 3.5 数值微分 第三章 数值积分与数值微分 3.5.3 数值微分的外推算法 3.5.2 三次样条求导 3.5.1 插值型求导公式 学习目标： 掌握几个数值微分计算公式 。 数值微分就是用离散方法即使的近似地求出函数在某点的导数 值.按照Taylor展开原理可得 其中h为一增量。上面几个公式是很实用的，下面我们再讨论一 些常用方法。 3.5数值微分 3.5.1 插值型求导公式 设f（x）是定义在[a，b]上的函数，并给定区间[a，b]上的函数， 并给定区间[a，b]上的n+1个节点 出的函数值 这样,我们可以建立函数 的n次插值多项式 多项式的求导是容易的,称 (3.5.1) 为插值型求导公式。 应当指出，即使 和 的值相差不多，导数的近似值 与导数的值 仍然可能相差很大。因而在使用求导公式 （3.5.1）时，应注意误差的分析。 依据插值余项定理，求导公式（3.5.1）的余项为 式中 在上述余项公式中，由于 是x的未知函数，我们无法对右端的 第二项作出进一步的说明。因此，对于随意给出的点x，求导公式 的余项是很难估计的。 然而，如果我们限定求节点上的导数值，那么有余项公式 （3.5.2） 下面我们考察节点处的导数值。为简化讨论，假定所给的节点是等距的， h是步长。 1.两点公式 当n=1时，由（3.5.2）得带余项的两点公式 （3.5.3） （3.5.4） 2. 三点公式 当n=2时，由（3.5.2）的带余项的三点公式 （3.5.5） （3.5.6） （3.5.7） 3.五点公式 当n=4时，由（3.5.2）不难导出带余项的五点求导公式。这里给出 其中常用五点公式 （3.5.8） 例 3.9 设 ，对h=0.01，计算 的近似值。 解 由（3.5.5）式有 由（3.5.6）有 由（3.5.7）式有 由（3.5.8）式有 精确值 。计算结果显然与它们的余项相一致，由（3.5.8）式计 算所得的结果最精确。 然而，对于用插值法建立的数值求导公式通常导数值的精确度比 用插值公式求得的函数值的精确度差，高阶导数值的精度比低阶 导数值的精度差。所以，不宜用次方法建立高阶数值求导公式。 用插值多项式 作为 的近似函数，还可以建立高 阶数值微分公式 3.5.2 三次样条求导 我们知道，三次样条函数S(x)作为f（x）的近似函数，不但彼此的函数值 很接近，导数值也很接近。因此用样条函数建立数值微分公式是很自然的。 设在区间[a，b]上，给定一种划分 及相应的函数值 再给定适当的边界条件，按三次样 条函数的算法，建立关于节点上的一阶导数 或二节导数 的样条方程组。求得 或 从而得到三次样条插值 函数S(x)的表达式。这样，可得数值微分的公式