3正态分布.ppt

例5 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定? 解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X h) 0.01 或 P(X h) 0.99， 下面我们来求满足上式的最小的 h. 因为X～N(170,62), 故 P(X h)= 0.99 查表得 (2.33)=0.99010.99 所以 =2.33, 即 h=170+13.98 184 设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01. P(X h ) 0.99 求满足 的最小的 h . 二项分布的正态近似 定理(棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理） 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，则对任意x，有 定理表明，当n很大，0p1是一个定值时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 实用中，n 30, np 10时正态近似的效果较好. 例6 将一枚硬币抛掷10000次，出现正面5800次，认为这枚硬币不均匀是否合理?试说明理由 . 解: 设X为10000次试验中出现正面的次数， 采用正态近似,np=5000,np(1-p)=2500, 若硬币是均匀的， X~B(10000，0.5), 近似正态分布N(0,1). 即 =1-Φ(16) ≈0 此概率接近于0, 故认为这枚硬币不均匀是合理的 . P(X≥5800) =1-P(X5800) 近似正态分布N(0,1). 分布函数 2. 常见连续型 随机变量的分布 均匀分布 正态分布(或高斯分布) 指数分布 三、小结 §2.2 一维连续型随机变量的分布密度 一、 一维连续型随机变量及其分布密度 定义 设X是一个随机变量，如果总存在非负可积函数f(x), 使对任意实数a,b有 则称X为一维连续型随机变量，f(x)为X的分布密度函数，简称分布密度。 概率密度f(x)的性质： 连续型随机变量取定值（单点值）的概率为零。 若X是连续型随机变量，{ X=a }是不 可能事件，则有 若 X 为离散型随机变量, 注意 连 续 型 离 散 型 对于连续型随机变量X，其分布函数 且 可以证明：一维连续性随机变量的分布函数是连续函数。 分布函数用于计算随机变量取值的概率： 连续型随机变量取值落在某一 区间的概率与区间的开闭无关 则称X服从（a,b）上的均匀分布， 记为X?U(a,b) 二、常用的一维连续型随机变量的概率分布 1 均匀分布 如果X的密度函数为 均匀分布的意义 分布函数 例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率. 解： 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站. 所求概率为： 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3. 例3 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值 大于3 的概率. X 的分布密度函数为 设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 ”, 解 即 A={ X 3 }. 因而有 设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数, 则 则称X服从参数为的指数分布.记作X?E( ) 2 指数分布 如果随机变量X具有概率密度 某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命 、电力设备的寿命、动物的寿命等都服从指数分布. 应用与背景 分布函数 例4. 设随机变量X服从 的指数分布， 试求： 3 正态分布 如果随机变量X具有概率密度 其中 均为常数，则称X服从参数为 的正态分布，记作X?N( ) 若X?N( ), 则X的分布函数为 正态分布是应用最广泛的一种连续型分