6.微分方程模型.ppt.ppt

模型分析 易得 的极大值点为： 。当传染强度 增加时， 将变小，即传染高峰来得快，这与实际情况吻合。但当 时， ，这意味着最终人人都将被传染，显然与实际不符。 带宣传效应的SI模型3 模型假设 1.单位时间内正常人被传染的比率为常数 ； 2.一人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡。 由导数的含义和假设，易得微分方程： 假设宣传运动的开展将使得传染上疾病的人数减少，减少的速度与总人数成正比，这个比例常数取决于宣传强度。若从 开始，开展一场持续的宣传运动，宣传强度为 ，则有数学模型为 解得： 其中： 为Heaviside函数。求得微分方程的解为： 如果宣传运动是短暂进行的，这在日常生活中是常见的，例如仅仅是听一个报告，或街头散发传单等，即在 等 个时刻进行 次宣传，宣传强度分别为 ，则模型变为 解得： 表明持续的宣传是起作用的，最终会使发病率减少。 但此时有 ，这表明短暂的宣传是不起作用的，最终还是所有的人 都染上了疾病。 SIS模型 有些传染病如伤风、痢疾等愈后的免疫力很底，可以假定无免疫性。于是痊愈的病人仍然可以再次感染疾病，也就是说痊愈的感染者将再次进入易感者的人群。 模型假设 1.总人数为常数 ，且 2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 k（传染强度）； 3.感病者以固定的比率 h痊愈，而重新成为易感者。 该假设下的模型为： 其解为： 或 模型分析： 时， ； 时， 。这里出现了传染病学中非常重要的阈值概念，或者说门槛（threshhold）现象，即 是一个门槛 SIR模型 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非易感者，也非感病者，因此他们将被移出传染系统，我们称之为移出者，记为R类。 模型假设 1.总人数为常数 ，且 ； 2.单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为 （传染强度）； 3.单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人人数成正比，比例系数为 ，称为恢复系数。 该假设下的模型为： 取初值： 把前面的两个方程相除，并整理，有： 解之得: 模型分析： 易得 ；而当 时， 单调下降趋于零； 时， 先单调上升到最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象： 是一个门槛。 从 的意义可知，应该降低传染率，提高恢复率，即提高卫生医疗水平。 令 可得 假定 ，可得： 若记 ，则 ，这也就解释了本文开头的为什么同一地区一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变的问题。 6.4药物试验模型 ? 问题的提出 药物进入机体后，在随血液运输到各个器官和组织的过程中，不断地被吸收，分布，代谢，最终排除体外。药物在血液中的浓度，即单位体积血液（毫升）中药物含量（微克或毫克），称血药浓度，随时间和空间（机体的各部位）而变化。血药浓度的大小直接影响到药物的疗效，浓度太低不能达到预期的效果，浓度太高又可能导致药物中毒，副作用太强或造成浪费。因此研究药物在体内吸收，分布和排除的动态过程，及这些过程与药理反应间的定量关系（即数学模型），对于新药研究，剂量确定，给药方案设计等药理学和临床医学的发展都有重要的指导意义和使用价值。 问题分析 房室是指机体的一部分，药物在一个房室内呈均匀分布，即血药浓度是常数，而在不同房室之间则按照一定规律进行药物的转移，一个机体分为几个房室，要看不同药物的吸收，分布，排除过程的具体情况，以及研究对象所要求的精度而定。现在我们只讨论二室模型，即将机体分为血药较丰富的中心室（包括心，肺，肾等器官）和