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三角形证明
三角形證明 歷史 這個定理的歷史可以被分成三個部份:發現勾股數、發現直角三角形中邊長的關係、及其定理的證明 中國古代的《周髀算經》中,記載了商朝的商高引述大禹發現了勾股弦定理: 故折矩, 以為句廣三, 股修四, 徑隅五。既方之, 外半其一矩, 環而共盤, 得成三四五。兩矩共長二十有五, 是謂積矩。 歷史 《周髀算經》中更明確記載了公式: 「若求邪至日者,以日下為句,日高為股,句股各自乘,並而開方除之,得邪 至日 」 勾股弦定理: 直角三角形兩直角邊(即「勾」、「股」)邊長平方和等於斜邊(即「弦」)邊長的平方。 假設直角三角形兩直角邊為a和b,斜邊為c , 那麼a 2 + b 2 = c 2 只要知道直角三角形的任意兩條邊,便可計算出第三條邊。 勾股弦定理同時是餘弦定理中的一個特例。勾股弦定理現約有400種證明方法,是數學定理中證明方法最多的定理之一。 勾股數組 勾股數組是滿足勾股弦定理a 2 + b 2 = c 2的正整數組(a,b,c),其中的a,b,c稱為勾股數。例如(3,4,5)就是一組勾股數組。 任意一組勾股數(a,b,c)可以表示為如下形式:a = k(m2 ? n2),b = 2kmn,c = k(m2 + n2) 勾股弦定理證明 利用相似三角形證明,都是基於相似三角形中兩邊長的比例。 設ABC為一直角三角形, 直角於角C(看下頁附圖). 從點C畫上三角形的高,並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因為在兩個三角形中都有一個直角(這又是由於「高」的定義),而兩個三角形都有A這個共同角,由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係: 因為BC=a,AC=b,AB=c 所以 可以寫成 綜合這兩個方程式,我們得到 換句話說: 圖形重新排列證法 以面積減演算法證明,此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a + b) 2 。把四個相等的三角形移除後,左方餘下面積為a 2 + b 2 ,右方餘下面積為c 2 ,兩者相等。 勾股弦定理推導正三角形 假設正三角形的邊長為a,則可推得以下的性質: 海倫公式 海倫公式,又譯希羅公式、希倫公式、海龍公式,亦稱「海倫-秦九韶公式」。此公式相傳是亞歷山大港的希羅發現的,並可在其於公元60年的《Metrica》中找到其證明,利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。 亦有認為早於阿基米德已經懂得這條公式,而由於《Metrica》是一部古代數學知識的結集,該公式的發現時期很有可能先於希羅的著作。 假設有一個三角形,邊長分別為a,b,c,三角形的面積S 可由以下公式求得: 由於任何n邊的多邊形都可以分割成n ? 2個三角形,所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候,不用測三角形的高,只需測兩點間的距離,就可以方便地導出答案。 接近正三角形的海倫三角形 海倫三角形是各邊、面積及內切圓半徑均為有理數的三角形。因正三角形當邊長為有理數時,其面積為無理數,因此不存在滿足海倫三角形條件的正三角形。不過有一些海倫三角形其三邊邊長為 n???1, n, n?+?1,算是很接近正三角形的海倫三角形, 表中的 n 有一個特性:將某一個 n 乘以4,再減去較小三角形的 n,就是下一個三角形的邊長n(52?=?4?×?14???4, 194?=?4?×?52???14,以此類推),可以用下頁的例子表示: 佩爾方程 x2???3y2?=?1 的解求得,也和 √3的連分數有關。 資料來源: 維基百科 勾股弦定理 正三角形 海倫公式 * *
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