中国的测量术.docVIP

中國的測量術 國立新店高中 蘇俊鴻老師 前言 一談起測量方法，大家腦中馬上浮現「三角測量」--藉助三角函數的幫助，我們只要測量出某些長度及角度，就能處理那些我們無法實際量測的問題。這也是數學教師在三角函數的學習上，用來強化三角函數學習「正當性」的最佳理由。事實上，每個文化在某些特殊條件的限制下，可能發展出不同於我們現有既存的概念或策略。比如說，中國古代缺乏一般角的概念，因此，今日我們所熟知的三角學理論並沒有在中國發展起來。1但中國仍建立起非常發達、程度極高的測量技術。本文想藉由中算史的一些數學文本的討論，說明測量問題使用三角函數來處理，並非唯一的途徑。 由於中算上缺乏一般角的概念，因此只好藉助直角三角形(勾股形)來處理，這樣的方法稱之為勾股測量。我們可由測量工具的使用得到驗証，傳統上使用的工具有兩種：一是矩；另一是表。矩就是彎曲成直角的曲尺，表就是垂直的量杆，都是為構造出勾股形而使用的。之後中算家在勾股測量的基礎上，改進技術與方法，造出「重差法」。本文則是對勾股測量一個初步的介紹。 勾股測量與《九章算術》 測量技術的發展，離不開實際應用的需要，如天文的觀測、建築工程、土地丈量及地圖的繪製等，因此，勾股測量在中國發展極早。以多數讀者熟知《九章算術》來說，在卷九「勾股章」所談的便是與勾股形相關的問題。全章共24個問題，其中第1~5個問題，是勾股定理及直接應用，第6~13及第24個問題是解勾股形的問題；第14~15個問題是勾股容方、容圓；第16~23個問題則是測望問題。試舉幾例如下： 第19問 今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何？2 第21問 今有木去人不知遠近。立四表，相去各一丈，今左兩表與所望相直。後右表望之，入前表三丈。問木去人幾何？ 第22問 今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末，適與山峰斜平。人目高七尺。問山高幾何？ 今有井，徑五尺，不知其深。立五尺木於井上，從木末望水岸，入徑四寸。問井深幾何？ 3 這幾個問題與各位所常見的測量問題相當類似，可以當成課堂教材的補充。第16~20問與方形的城池(邑方)有關，筆者特別挑選第17問有幾個原因：(1)劉徽在這個問題上給了我們兩個不同面向的注解—「率」及「出入相補」；(2)這個問題的術文所導出的一元二次方程式，4是中算史上第一個出現帶有一次項的二次方程式。 第19問的題意如圖一，為便於表示，筆者用現在的數學符號輔以說明劉徽的注解。首先是利用「率」的觀念， 此以折而西行為股，自木至邑南一十四步為勾，以出北門二十步為勾率，北門至西隅為股率，半廣數。故以出北門乘折西行股，以股率乘勾之冪。然此冪居半以西，故又倍之，合東，盡之也。5 設邑方，則為股，為勾，為勾率，為股率。則 ---(1) 由上可知，主要的關鍵在於這個關係式。這個關係的成立，眼明的讀者或許會猜測：它是奠基在直角三角形與直角三角形的相似。然而，筆者在此必須重申：當時的中算家是沒有一般角度的概念，也就沒有平行線性質的探討，因此，也就沒有相似形的理論的建立。那麼劉徽是如何找到這個關係式呢？要回答這個問題，我們就必須談到劉徽在第14問「勾中容方」的注解。 第14問是這樣的問題「今有勾五步，股一十二步。問勾中容方幾何？」6劉徽在注解中提出： 冪圖：方在勾中，則方之兩廉各自成小勾股，而其相與之勢不失本率也。7 此段文意以圖二說明：在與中，邊長成比例，即是。劉徽利用這個性質証明「勾中容方」及「勾中容圓」的公式，也証明測望問題的術文的正確性。但可惜的是，由於劉徽注解的原始圖形佚失，也無進一步的文字說明，因此，無法得知劉徽的最初想法。所幸數學史家們在楊輝所著的《續古摘奇算法》卷下，8看見後世中算家對劉徽可能的想法的最完整的還原：9 直田之長名股，其闊名勾，於兩隅角斜界一線，其名弦。弦之內、外分二勾股，其一勾中容橫，其一股中容直，二積二數皆同。10 由圖三，可以清楚地看到長方形ABCD由對角線平分成兩個直角三角形。由於正方形AGEG及正方形EICF也被平分成兩個直角三角形。所以 長方形HEFD面積 = =長方形GBIE面積 所以 這個「勾中容橫，其一股中容直，二積二數皆同。」的性質在中算的勾股問題中，有著重要的作用。筆者認為這個利用面積關係來尋求兩個勾股形比例關係，是一個很有趣並且值得在課堂演示的作法。除了讓學生有機會體會即使省略了相似形理論，比例關係仍可作出的機巧外；也讓學生了解在不同的時空文化限制背景下，知識的成長是可能擁有不同的風貌。 再回到劉徵的注解上，第二個「可能」利用「出入相補」的作法： 此術之冪，東西如邑方，南北自木盡邑方十四步之冪。各南、北方為廣，邑方為袤，故連兩廣為從法