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三. 转动惯量 1.定义： * * 第二章 刚体的转动 §1刚体的定轴转动 一.刚体 ： 无形变。 物体内任意两质点距离保持不变。 二.平动与转动 1.平动： 刚体内任一给定直线在运动中其方位始终保持不变。 活塞、升降机等。 特点：各质点的运动状态完全一样。 2.定轴转动 定义： 刚体内各质点在运动中都绕同一直线作圆周运动，此直线称为转轴。转轴固定称为定轴转动。 三.刚体的定轴转动 特点： 各点转动的角位移、角速度、角加速度都相同。 可用角量进行描述。 刚体的运动均可视为平动与定轴转动的合成。 四.角速度矢量： 定义： 转轴上的有向线段。 r ω θ 大小——线段长短 方向 : 右手螺旋判定 定轴转动：ω 的方向？ 可用正负表示方向。 r v 速度 m 角 夹 r v §2 刚体的角动量 转动动能 转动惯量 一. 角动量 1. 质点的角动量 观察地球绕日运动： O θ rmvsinθ = 恒量 地球的角动量 定义： L = r×mv 大小和方向？ r v L 2.刚体的角动量 各质量元角动量之和。 转轴 转动惯量J L= Jω 二.转动动能 组成刚体各质点的动能之和。 若为连续分布： 2.物理意义： J → m , 转动惯性大小的量度。 单位：kg m2 质点系： 动量: mv 角动量： Jω 例题 P106 例4 r dm 在圆盘上取一半径为 r 的圆环 r dJ = r2 dm = r2σ2πr dr = 2πσr3 dr = ? mR2 几种刚体的转动惯量见表 4—1 J 与哪些因素有关？ 决定转动惯量的因素 转动惯量? J = ∑miri2 或 J=∫r2 dm 是物体转动惯性大小的量度，它的大小由物体的质量、质量分布和转轴的位置三个因素来决定。 ???? 请看下面的实例。 ? 1.匀质直杆对垂直于杆的转轴的转动惯量 (杆长为l ，质量为M) 1)?? 垂直于杆的轴通过杆的中心O J1= M l 2 ???????????????????????????????????? 2) 垂直于杆的轴通过杆的端点O1 J2= ????M l 2 ???????????????????????????????????? 2.匀质圆盘的转动惯量 (圆盘质量为M，半径为R) 1) 对通过盘心垂直盘面的转轴 J1= ????MR 2? 2) 对通过直径的轴 J2= ????MR 2 ? o 结论： ??? (1) 刚体的转动惯量是由质量、质量分布、转轴位置三个因素决定的。 ??? (2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同，凡是提到转动惯量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。 　 ???????????????????????????????????????????????????????????????? 　 ???????????????????????????????????? ? 4.挂在光滑钉子上的匀质圆环摆动的转动惯量? (圆环质量为m，半径为R) J=mR 2?+ mR 2?=2mR 2? ???????????????????????????????????? 3.挂钟摆锤的转动惯量（杆长为 l, 质量为 m1,摆锤半径为 R，质量为 m2） 一.力矩 1.定义： f r d M = f d = f r sinθ θ θ 定轴转动：力矩的方向可用正负号表示。 若力不在垂直转轴的平面内，则如何？ 2.合力矩 —— 代数和。 作用： §3 力矩 转动定律 3.内力的力矩 o z 取任意两个质点，分析力矩。 r1 r2 F’12 F’21 d θ1 θ2 ∵ r1 sinθ1 = r2 sinθ2 = d ∴ M = F’21 r2 sinθ2－ F’12r1 sinθ1 = 0 所有的内力成对出现，所以有： 例题：有一大型水坝高110米，长1000米，水深100米，求水作用在大坝上的力；及这个力通过大坝基点Q且与x轴平行的轴的力矩。 思路：力与力矩均是变量，要分部分求和。 dF dA y h dF = ［( P0 + ρg ( h－y )］dA L 力矩： Q y dM = y dF x 二.转动定律 导出思路：牛顿第二定律。 取质点Δmi ，其将绕oz轴作圆周运动。分析受力： Δmi 0 z ri F’i Fi 切向： 同乘以 ri 法向力矩为零，内力矩为零。 三.平行轴定理 zc c 过质心转轴 z’ d m J = Jc + md2 例题. 一质量为m=