Runge-Lenz Vector供参习.docx

拉普拉斯-龙格-楞次矢量 Runge-Lenz Vector(2011-10-20 20:10:15) 转载▼分类：理论力学在经典力学里，拉普拉斯-龙格-楞次矢量（简称为 LRL 矢量）主要是用来描述，当一个物体环绕着另外一个物体运动时，轨道的形状与取向。典型的例子是行星的环绕着太阳公转。在一个物理系统里，假若两个物体以万有引力相互作用，则 LRL 矢量必定是一个运动常数，不管在轨道的任何位置，计算出来的 LRL 矢量都一样[1]；也就是说， LRL 矢量是一个保守量。更广义地，在开普勒问题里，由于两个物体以有心力相互作用，而有心力遵守平方反比定律，所以，LRL 矢量是一个保守量[2]。氢原子是由两个带电粒子构成的。这两个带电粒子以遵守库仑定律的静电力互相作用．静电力是一个标准的平方反比有心力。所以，氢原子内部的微观运动是一个开普勒问题。在量子力学的发展初期，薛定谔还在思索他的薛定谔方程的时候，沃尔夫冈·泡利使用 LRL 矢量，关键性地导引出氢原子的发射光谱[3]。这结果给予物理学家很大的信心，量子力学理论是正确的。在经典力学与量子力学里，因为物理系统的某一种对称性，会产生一个或多个对应的保守值。 LRL 矢量也不例外。可是，它相对应的对称性很特别；在数学里，开普勒问题等价于一个粒子自由地移动于四维空间的三维球面[4]；所以，整个问题涉及四维空间的某种旋转对称[5]。拉普拉斯-龙格-楞次矢量是因皮埃尔-西蒙·拉普拉斯，卡尔·龙格，与威尔汉·楞次而命名。它又称为拉普拉斯矢量，龙格-楞次矢量，或楞次矢量。有趣的是，LRL 矢量并不是这三位先生发现的！这矢量曾经被重复地发现过好几次[6]。它等价于天体力学中无量纲的离心率矢量[7]。发展至今，在物理学里，有许多各种各样的 LRL 矢量的推广定义；牵涉到狭义相对论，或电磁场，甚至于不同类型的有心力。目录[隐藏] 1 概论2 历史3 数学定义4 开普勒轨道导引5 圆形的速端曲线6 运动常数与超级可积分性7 在微扰势下的系统演化8 泊松括号9 氢原子量子力学10 保守性与对称性11 旋转对称性在四维空间12 开普勒问题 LRL 矢量恒定的证明12.1 直接证明12.2 哈密顿-雅可比方程12.3 诺特定理12.4 李变换13 推广至别种位势和相对论14 别种比例与表述15 参阅16 参考文献17 外部链接[编辑] 概论在一个物理系统里，在任意保守的有心力的作用下（参阅保守力），一个粒子的运动，都会拥有至少四个运动常数；能量与角动量的三个分量皆为运动常数。粒子的轨道被限制于一个平面。粒子的动量和从力中心点的位置到粒子位置的位移（参阅图 1）。粒子的运动平面垂直于角动量。用方程表示，。LRL 矢量，也肯定地包含于粒子的运动平面。可是，只有当有心力遵守平方反比定律时，才是常数矢量[1]。对于别种有心力，不是常数矢量，其大小与方向都会改变。假若有心力近似地遵守平方反比定律，则的大小近似常数，而方向会缓慢地转动。对于所有的有心力，我们可以定义一个广义 LRL 矢量，但是，这广义矢量通常并没有解析解，假若有，也会是一个非常复杂的函数[8][9]。[编辑] 历史在重要的开普勒问题中， LRL 矢量是一个运动常数，时常用来描述天文轨道，例如行星的运动。然而，物理学家对它并不熟悉，这很可能是因为与动量与角动量相比，它比较难以被直觉地理解内涵的物理。因此，在过去三个世纪里，它曾被重复地发现过许多次[6]。1710 年，在一个不著名的意大利学刊里，雅各布·赫尔曼最先发表了关于 LRL 矢量的论文。在导引一个轨道方程的过程中，他计算出 LRL 矢量的大小， A 是保守的[10]；并且导引出此案例与椭圆轨道离心率的关系。稍后，赫尔曼把这结果告诉约翰·伯努利，他的恩师。伯努利又更进一步地导引出 LRL 矢量的方向。这样，LRL 矢量得到了它的现代形式[11]。所以，不容质疑地，LRL 矢量是赫尔曼和伯努利共同发现的。在那个世纪末尾，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯又重新地发现了 LRL 矢量的保守性；稍微不同地，他的导引使用的是分析方法，而不是几何方法[12]。十九世纪中叶，威廉·哈密顿导引出全等的离心率矢量[7]。他用离心率矢量来证明，在平方反比有心力作用下，速端曲线显示出，粒子动量矢量的头部呈圆形移动[13]（参阅图 3）。二十世纪初，约西亚·威拉德·吉布斯，应用矢量分析，导引出同样的矢量[14]。后来，卡尔·龙格将吉布斯的导引，纳入自己所写的一本广受欢迎的，关于矢量的，德文教科书内，成为其中的一个例题[15]。1924 年，威尔汉·楞次发表了一篇关于氢原子的旧量子论的论文。在这篇论文中，他引用龙格所写的教科书的例题为参考[16]。1926 年，沃尔夫冈·泡利用 LRL 矢量与矩阵力学，而不是薛定谔方程，来导引氢原子的光谱