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对人教版八年级下册《勾股定理》 赵爽弦图证明勾股定理的几点思考 山东省东营市育才学校 王美霞 邮编 257091 在义务教育课程标准实验教科书人教版八年级下册《勾股定理》教材第65页与66页中有这样一段内容： 由上面的几个例子，我们猜想： 命题1 如果直角三角形的两条直角边分别为,斜边长为，那么. 证明命题1的方法有很多，下面介绍我国古人赵爽的证法。 看右边的图案。这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）。 赵爽利用弦图证明命题1的基本思路如下。如图18.1—3（1），把边长为的两个正方形连在一起，它的面积是 ,另一方面，这个图形可由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成。把图18.1—3（1）中左、右两个三角形移到图18.1—3（2）中所示的位置，就会形成一个以为边长的正方形（图18.1—3（3））。因为图18.1—3（1）与图18.1—3（3）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等。因此，. 我对以上教材内容在仔细阅读后先后产生了这样几个疑惑： 第一：教材在右面方框中所给出的内容，用我们今天的话来说就是，勾股相乘（）等于两个红色三角形的面积（朱实二：），其二倍（2）就等于四个红色三角形的面积（朱实四：），勾股之差（）自乘，等于中央黄色小正方形的面积（中黄实），与前面的四个红色三角形拼在一起恰好等于以弦为边的大正方形的面积（弦实）。用公式表示，这相当于指出 另一方面 这就证明了勾股定理——。（这种证明方法以下简称证明方法①） 但教材没有采用这种代数证明法，而是给出了图18.1—3，一种“面积出入相补法”来证明。为什么舍弃代数法而利用“面积移补法”，这是我的第一个疑惑。 第二：教材在图18.1—3上面两段中先指出赵爽根据弦图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）。而紧接着就说：赵爽利用弦图证明命题1的基本思路是先把把边长为的两个正方形连在一起。这其间的思路跳动过大，不太符合顺势分析的逻辑思维，造成理解困难，这是我的第二个疑惑。 第三：我对图18.1—3的证明思路重新分析了一下，发现其证明本质如下： 1.将边长为的两个正方形连在一起（如图（1）所示）。 2.在图（1）的左右下角分别分割出两个直角边为的直角三角形（图（2）中的两个阴影部分）。 3.将图（2）中分割的两个直角三角形分别移动与剩余不动的部分组成一个以斜边为边长的大正方形（如图（3）、图（4）所示）。 整个过程是无缝隙拼接，所以图（1）图（4）的面积相等，从而证明。在分析了整个过程后，我发现并不需要象教材所说需要将两个正方形拼接后将其看成四个直角三角形和一个正方形才能完成证明，其与弦图也看不出有多大联系，这是我的第三个疑惑。 在对教材产生以上三个疑惑后，我对赵爽弦图证明勾股定理产生了疑问：“赵爽弦图”是怎样产生的？赵爽究竟是如何利用“赵爽弦图”证明勾股定理的？是利用代数法还是利用面积移补法？如果是利用面积移补法，其具体过程又是什么样的？带着这些疑问，我查阅了大量资料，发现大家对赵爽证明勾股定理的方法有很多争议，争议的原因主要是赵爽的弦图早已失传，我们现在所看到的只有一张如图(5)所示（采自宋刻《周髀算经》，上海图书馆藏）的弦图。对其证明勾股定理的方法只是后人根据赵爽对《周髀算经》所作的注，以及其创作的“勾股圆方图说”所进行的推测而已。 图（5） 下面我们来看看其中比较典型的几种说法：一是钱宝琮先生的“代数证明法”（即证明方法①）；二是李文林先生的“面积移补法”（即教材图18.1—3的证法）；三是曲安京教授的“即方之——环而共盘——外半之”。 钱宝琮先生的“代数证明法”是大家质疑比较多的，主要是因为“其进行的代数运算在今天虽是家常便饭，但在赵爽时代却没有基础，很难说是赵爽的原意”（引自《从赵爽弦图证明谈数学史教学应尊重历史》——李文林说）。但是有个问题是李文林先生在《从赵爽弦图谈起》一文中，对于赵爽不会利用代数法证明也只是一个猜测，并没有给出什么证据证明，其所给出的“面积移补法”正如前面对图18.1—3所分析的，在整个过程中移动的只有两个直角三角形，并不需要构造四个直角三角形和一个小正方形。在李文林先生的文中还提到了刘徽在《九章算术》中利用“出入相补原理”证明勾股定理。 事实上，刘徽也提出了勾股定理的一种图证法，在《九章算术》“勾股”章注中，刘徽写道： “勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相辅，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之