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《数学物理方法》辅导纲要 第一章 复变函数 一、主要内容 1．复数及其运算规则 在复习复数的基本概念（实部和虚部、模、复数为零、复数的相等、共轭复数），复数的基本运算（加、减、乘、除、乘方）及表达复数的代数形式（）、三角形式（）的基础上，进一步介绍表达复数的指数形式（），开方运算及无穷远点。 在进行复数的运算（乘、除、乘方、开方）时，用指数形式最简便。在用指数形式表达复数时，模是唯一的，但幅角有整数倍的不确定性。为确定起见，幅角取主值（或，本书取前者）。两个复数相等，其模相等；但幅角可差一的整数倍。 将复数开n次方， 有n个值，与实数完全不同。 在复习复数的几何表示-复平面表示的基础上，介绍了复数球面表示，进而引入无穷远点。无穷远点在复平面上是以原点为圆心、以非常非常大的正数为半径的圆的外部；在复数球面上是北极点。无穷远点是模为无穷大的点，其幅角完全不确定，没有确定的实部、 （一）判断正误，在括号内打√或× 1．复变指数函数是无界的周期函数。 （ ） 2．在复数域内，负数也没有对数。 （ ） 3、任意有限复数开几次方，就有几个值。 （ ） 4、实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。 （ ） 5. 定义在区域G上的函数，若， 则是G上的解析函数。 （ ） 6. 在复数域内，负数也有对数。 （ ） 7. 与具有相同的实零点。 （ ） 8. 在复数域上对数函数总是可导的，其导数为。 （ ） 9. 是有界的周期函数，周期为。 （ ） 10. 在复数域内，正弦函数是无界的周期函数。 （ ） （二）、填空题 1． 。 2．复变函数可导的必要条件是 。 。 3. 。 4. 。 （三）、解答题 1、以为实部构造解析函数 2、以为实部构造解析函数 3、判断是否解析？是否为解析函数？若解析，求其导数？ 5、以为实部构造解析函数 第二章 复变函数的积分 一、主要内容 1．引入复变函数积分的概念，介绍其基本性质及计算复变函数积分的两种方法： (1).化为一对二元实变函数的线积分法 (2).利用参数方程化为一元函数积分  2．介绍了单连通区域和复连通区域上的Cauchy定理，这是整个解析函数理论的基础。在单连通区域Cauchy定理推论的基础上引入原函数及不定积分的概念。 3．在Cauchy定理的基础上得到Cauchy积分公式及高阶导数公式，揭示了区域上的解析函数有任意阶导数这一重要性质。 二、学习目标与考试要求 1. 了解复变函数积分的定义，熟悉其主要性质，知道计算复变函数积分的一般方法。 2. 掌握单连通区域的Cauchy定理及其推论、复单连通区域的Cauchy定理，理解不定积分、Newton-Leibniz公式在复数域的推广。 3. 熟练掌握Cauchy积分公式及解析函数的积分表示，熟记并理解高阶导数的Cauchy积分公式，在某区域上解析的复变函数，其任意高阶导数都存在。 4. 能应用两个定理和两个积分公式计算一些积分。 三、复习参考题 （一）、判断正误，在括号内打√或× 1. 若在区域G中解析，和 在G中有相同端点，则 （ ） （二）、填空题 1． 。 2. 。 3. 。 4. 若为包围的任意闭合曲线，则 。 5. 。 第三章 解析函数的级数展开 一、主要内容 1．在复数范围内引入级数收敛、绝对收敛和一致收敛的概念及判据，介绍了一致收敛级数的重要性质。这些概念、性质和判据在定义的叙述和数学形式上与实数的情形有很多相似之处，主要是把实数中的绝对值换成模，应该在复习数学分析有关内容