国中数学(三)14-1一元二次方程式及其解的意义1.一元二次方程式2.doc

4-1 一元二次方程式及其解的意義 1. 一元二次方程式 2. 一元二次方程式解的意義 4-2 因式分解法解一元二次方程式 1. 因式分解與一元二次方程式的解 2. 提公因式法解方程式 3. 利用乘法公式解方程式 4. 十字交乘法解方程式 4-3 配方法與一元二次方程式的公式解 1. 配方法 2. 一元二次方程式的公式解 4-4 一元二次方程式的應用   一元二次方程式 　　在日常生活中我們會遇到類似下面這樣的例子： (1) 某家經營游泳池的業者規劃在一塊 正方形土地上興建一座游泳池及一 些相關的設施，如右圖。已經知道 長方形游泳池的面積為375平方公 尺，你能算出這個游泳池的長、寬 各是多少公尺嗎？ 　　如果假設這塊正方形土地的邊長為x公尺，那麼由題意知長方形游泳池的長、寬各是（x － 10）公尺、( x － 20）公尺，而游泳池的面積為375平方公尺，所以得到（x － 10 ) ( x － 20）＝375，展開後得到 x2 － 30x － 175＝0 　　若能由方程式求出x所代表的數，我們就知道該游泳池的長、寬各是多少公尺了。 (2) 有一個長35公尺、寬25公尺的長方形 花圃。為方便遊客欣賞，想要開闢兩條 等寬且相交成十字型的通路，如右圖， 但希望剩下種植花卉的面積為600平方 公尺，那麼所開闢通路的寬度是多少公 尺呢？ 　　假設通路的寬度為x公尺，我們先設 想將圖中四塊種植花卉的長方花圃移向圖 形的左上方，而形成一個大的長方形花圃， 如右圖，它的長是（35 － x）公尺、寬是 （25 － x）公尺。所以花圃的總面積就是 ( 35 － x ) ( 25 － x )，由前面的條件我們 知道：( 35 － x ) ( 25 － x）＝600，展開得 x2 － 60x ＋ 275＝0 　　像x2 － 30x － 175＝0、x2 － 60x ＋ 275＝0的方程式叫做x的一元二次方程式。一般而言，可以化成ax2 ＋ bx ＋ c＝0（其中a≠0）形式的等式，我們稱為x的一元二次方程式。 試判斷下列各式是否為一元二次方程式。 (1) x2 － 3x＝5x － 2 (2) （x ＋ 3）（x － 1）－（x ＋ 2）（x － 2）＝5 解：(1) 由　　 x2 － 3x＝5x － 2， 整理得x2 － 8x ＋ 2＝0， 其中x2 － 8x ＋ 2是x的一元二次式， 所以x2 － 8x ＋ 2＝0是一元二次方程式。 (2) 由　　　　（x ＋ 3）（x － 1）－（x ＋ 2）（x － 2）＝5， 展開後可得x2 ＋ 2x － 3 － x2 ＋ 4＝5， 化簡可得　 2x － 4＝0， 其中2x － 4是x的一元一次式， 所以（x ＋ 3）（x － 1）－（x ＋ 2）（x － 2）＝5不是一元二次方程式。  試判斷下列各式是否為一元二次方程式。 (1) 5x － x2＝6 (2) （2x ＋ 1）（x － 2）＝3 答： 答： (3) （x － 1）（x ＋ 2）＝（x ＋ 3）（x － 2）－ 4 答： 一元二次方程式解的意義 　　我們知道將一個數代入x的一元一次方程式中，如果能使等號兩邊的值相等時，這個數就稱為這個一元一次方程式的解或根。 　　同樣地，如果將一個數代入一元二次方程式中，等號兩邊的值相等時，我們也稱這個數是一元二次方程式的解或根，而找出一元二次方程式的解或根的過程，我們稱為解一元二次方程式。例如： 以x＝－ 1、－ 2、－ 3、－ 4、－ 5分別代入一元二次方程式x2 － 30x － 175＝0，並比較等號兩邊的結果是否相等，我們得到 x x2 － 30x － 175的值 比較方程式等號兩邊的結果是否相等 － 1 1 ＋ 30 － 175＝－ 144 － 144≠0 － 2 4 ＋ 60 － 175＝－ 111 － 111≠0 － 3 9 ＋ 90 － 175＝－ 76 － 76≠0 － 4 16 ＋ 120 － 175＝－ 39 － 39≠0 － 5 25 ＋ 150 － 175＝0 0＝0 可以發現以x＝－ 5代入時，一元二次方程式x2 － 30x － 175＝0等號兩邊的值會相等，我們說x＝－ 5就是x2 － 30x － 175＝0的解。 　　我們知道一個一元一次方程式的等號兩邊同加一數或一個一次式；同乘以一個不為零的數，而得出之新方程式與原方程式有相同的解。那麼一個一元二次方程式是不是也有相同的結果呢？ 已知 － 5是x2 － 30x － 175＝0的解，如果： (1) 將此方程式兩邊同加175