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对滑轮系统的一些等效 （作者：物理二班 李敏 P 问题由来： 在《力学》（扬维编著）中的一些滑轮的经典题目如： P136,20题：　 如左图示，复杂的滑轮组，吊着物体质量分别为m1,m2,m3,m4.设滑轮质量以及滑轮的轴承处摩擦力均可忽略不计，且绳子长度不变，求每个物体的加速度和每段绳子的张力。 看到此题，每个人都明白列出一系列方程，求解方程即可，可复杂程度也是相当可观的。 如果滑轮组更复杂，那方程数增加，求解方程的难度可呈级数增加，如何一种简单算法？ 根据等效原理：在电路中，两个系统只要在输入电压、电流一定的情况下，仍能输出电压与输出电流一致，此两系统在电路中就可以互相等效、互相替换。 对于一个力学系统：只要两个系统与外界的作用效果一样，即牛顿的力学方程形式一样，就互相替代。 取滑轮的一小简单部分进行分析，以坚直向下为正方向 假设此滑轮的对地加速度为a0，选此滑轮为参考系。m1、m2的相对加速度为、，m1、m2的对地加速度为、，且均受惯性力作用。牛顿定律可得： 解得： 由其中： 可取：（量纲为质量单位） 原式子即可变为：（简单牛顿运动方程） 而对于上端绳子来说，图二的装置与图三的简单装置作用效果一样，可以相互替换 以用上述等效方法，原题目中的系统可变为图（四）， 其中 由于a0=0，用式子（1）可得： 这样： 对于原装置的m1,m2的加速度、，由式子（1）得： 其余各个物理量的算法类似，都与直接列出方程所得结果一样，与书P５０５所给答案一样。 讨论（1）： 1）等效质量式子。 如图（五）示。单一物体可等效于两端拉相同质量的滑轮组，滑轮组的等效质量（与实际情况相符） 2）加速度公式：（a2的式子其实与a1相对应，只是将m1改成m2，而将m2改成m1即可）。 当a =g时，即做自由落体运动，可知，a1的加速度也为g，因为不受力，由式子（1）算得 　（与实际情况相符。） 3）受力情况分析，这一系统受外界的力，可直接用，即　算得。 （三）设计程序处理： 观察式子，及 此两个式子均符合一种递归关系。所以这一复杂滑轮系统可描述为数据结构中的二叉树类型。叶子为物体，非叶子部分即为滑轮 此树结点的类型可为： typedef struct Lnode{ float mass； //该结点以下的等效质量，叶子质量已给 float acceleration； //该处的对地加速度 float force； //该处所受上一级拉力 struct Lnode *rchild,*lchild；//左右孩子 }*pulley,Lnode； //此树结点不能单独只有左孩子或右孩子 树造好后，用一次深度检索（用后序遍历），由公式（1）： 可算出各个结点的等效质量。 再用一次广度检索，由公式： （其中左、右分别代表该结点左、右子树的所存储的等效质量） 再用： （其中为该处结点的加速度，M0为该处的等效质量，T就是该处所受上一级滑轮的拉力） 算出各结点的加速度，及绳子的拉力情况。 这样整个滑轮系统的所有讯息都被存在这棵二叉树中了。 而在实际，滑轮的质量不可忽略时，还有其转动惯量。将原来公式（1）（2）推广开来： 依然取系统的一部分，如左图（六）示，取m3（即滑轮）为参考系，且设其转动惯量（k0）；以坚直向下为正方向。 假设此滑轮的对地加速度为， m1、m2的相对加速度分别为、，对地加速度分别为、，且均受惯性力作用。 由受力分析得： 由以上各式解得： 总拉力： 观察可知： 依然可等效为一质量的单一物体。 且两物体的绝对加速度 讨论（2）： 1）：对单个物体可等效为如右图（七）示的装置；（其中k无所谓等多少）且：；由式子（4）得：；（依然符合实际。） 2）：当a0=g 时，即做自由落体运动，可知a0=g。同样由式子（3） 可得： （与实际情况相符） 3）：同样受力也可以用式子： 求得。 设计程序处理： 同样此类滑轮系统亦可以像上例一样描述为一棵二叉树。 描述方式与上一类大同小异，这里不详细解释。 同样也可由（３）（４）式子可计算《力学》P334的第16题，计算过程前面相似。此处略去。 总结： 本文所介绍的算法可用于复杂的滑轮组合，亦可根据此算法编写一程序处理此类复杂计算问题。 利用此文：学习运用等效原理可以使复杂的问题简单化， 及对一大系统的一小部分的研究来解决整体的复杂问题的方法。 参考文献： 《力学》 （扬维纮 编著） 《数据结构》 图（二） 图（一） 图（四） 图（三） 图（六） 图（五） 图（七）