导数的应用.ppt

第三章 導數的應用 課程目標 遞增函數與遞減函數 相對極值、凹性與圖形的描繪 絕對極值、 最佳化問題 經濟學與商學上的應用 隱微分法 相關變率 線性近似與微分 均值定理 遞增函數與遞減函數 觀察下列圖形，我們發現它的圖形在開區間 (- ?, a) 和 (b, ? )裡，圖形由左下角往右上角上升(遞增)；在開區間 (a, b) 裡，圖形由左上角往右下角下降(遞減)。 遞增函數與遞減函數 定義3-1: 設 f(x) 為一函數定義在開區間 I 中。 (a) 若 x1 x2，則 f (x1) f (x2)。吾人稱 f(x) 在 I 為遞增函數 (increasing function)。 (b) 若 x1 x2，則 f (x1) f (x2)。吾人稱 f(x) 在 I 為遞減函數 (decreasing function)。 遞增函數與遞減函數 設 f(x) = x2，則 f(x) 在 (0, ?) 為遞增函數，在 (-?, 0) 為遞減函數。 遞增函數與遞減函數 設 ，則 f(x) 在 (0, ?) 為遞減函數，在(-?, 0) 亦為遞減函數。 判斷函數的遞增與遞減 由函數的定義證明函數為遞增或遞減，此種方法很困難而且不經濟，必須尋求另外的辦法來判斷函數的遞增與遞減。 先考慮遞增的情況。假設f(x) 在 (a, b) 區間為遞增，如右圖所示，我們發現對任意 a x b，切線之斜率皆大於 0，即 f (x) 0。 判斷函數的遞增與遞減 若 f(x) 在 (a, b) 為遞減，如右圖所示，我們發現對任意 a x b，切線之斜率皆小於 0，即 f (x) 0。 定理3-1: 一階導數判別函數的遞增或遞減 判斷函數的遞增與遞減 觀察下圖，發現整個圖形發生轉折的點在 x = a, b, c, d，而且 f(x) 在 (- ?, a) 為遞增，在 (a, b) 為遞減，在 (b, c) 為遞增，在(c, d) 為遞減，在 (d, ?) 亦為遞減。另一方面，我們又發現在這些轉折的點，f (a) = 0 且 f (b)、 f (c) 與 f (d) 都不存在。 遞增函數 設 f(x) = x3 ，則 f (x) 為遞增函數。 決定遞增與遞減區間 設 f(x) = x2 + 2x - 5，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。 決定遞增與遞減區間 設 f(x) = x2/3 ，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。 決定遞增與遞減區間 設 f(x) = x4 – 4x3 + 5 ，決定 f(x) 遞增或遞減之區間。 決定遞增與遞減區間 設 利潤遞增與遞減 某家零售商銷售耳機，其每日銷售 x 個耳機之利潤為 P(x) = -x3 + 45x2 + 3000x 元。求該零售商之利潤遞增或遞減的銷售量區間為何。 相對極值與圖形的描繪 在下圖中，我們發現它在 (a, f (a)) 及 (c, f (c)) 為相對的最高點，在 (b, f (b)) 及 (d, f (d)) 為相對的最低點。 在 x = a 附近，f (a) 之值最大，這時候我們稱 f (a) 為 f(x) 之相對極大值 (relative maximum value)，f (c) 亦為 f (x) 之相對極大值。 相對極值 定義3-2: f (x) 為一函數且 a 和 b 屬於 f (x) 之定義域。 若存在開區間 I 包含 a 且對任意 x 屬於 I，f (x) f (a)，則 f (a) 稱為 f (x) 的相對極大值。 若存在開區間 I 包含 b 且對任意 x 屬於 I，f (x) f (b)，則 f (b) 稱為 f (x) 的相對極小值。 f (x) 之相對極大值或相對小值統稱為 f (x) 之相對極值 (relative extreme value)。 臨界點 定義3-3: 設 f (x) 為一函數且 c 屬於 f (x) 之定義域。若 f (c) = 0 或不存在，則 c (或(c, f (c)))稱為 f(x) 的臨界點 (critical point)。 求臨界點 求下列各函數之臨界點。 相對極值之必要條件 在什麼樣的點，f (x)會產生相對極值？ 假設 f (x) 在 x = c 產生相對極大值，如下圖，若 f (c) 不存在(如下圖右)，則沒必要再討論。 若 f (c) 存在(如下圖左)，我們考慮以下二種情形： (1) f (c) 0，f (x) 在 x = c 附近為遞增，因此，f (c) 不可能為相對極大值。 (2) f (c) 0，f (x) 在 x = c 附近為遞減，因此，f (c) 亦不可能為相對極值。 所以 f (c) = 0。 相對極值之必要條件 定理3-3: