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数系的发展 毕达哥拉斯学派有个叫希帕索斯的学生在研究1和2的比例中项时发现，没有任何有理数与数轴上的这样一点相对应（如图所示）： 一、危机由来 数学中有大大小小的矛盾： 比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数…… 深刻的矛盾：有穷与无穷，连续与离散，具体对象与抽象对象，概念与计算…… 一、危机由来 在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。 二、危机后的新天地 但是矛盾的消除和危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革 。 无理数的发现─第一次数学危机 三、危机产生的背景 三、危机产生的背景 三、危机产生的背景 定理5 是无理数。 定理6 任何素数的平方根都是无理数。 定理7 如果在自然数A的素因数分解中，至少有一个素数出现奇数次，那么 是无理数。 定理8 如果在自然数A的素因数分解中，每一个素数都出现偶数次，那么 是有理数。 无理数的发现，对以整数为基础的毕氏哲学，是一次致命的打击，以至于有一段时间，他们费了很大的精力，将此事必威体育官网网址，不准外传，并且将希帕索斯本人也扔到大海中淹死了。 但是，人们很快发现了更多的无理数，随着时间的推移，无理数的存在已成为人所共知的事实。 　无理数的发现，是毕氏学派最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。 四、危机的解决 四、危机的解决 伽利略（Galileo Galilei ,1564-1642）两部专论： 《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》 （The Two Chief Systems,1632） 《关于两种新科学的对话》 （The Two New Sciences,1638） 书里的著名对话说明远在康托尔的集合论创始之前，伽利略对无限已经有了很好的理解。 精彩对话总结： 任何线段都包含了无限个点。 线段[0,2]包含线段[0，1]，因而线段[0,2]比线段[0，1]含更多的点。 自然数和它的平方数可以建立一一对应： 等于、小于、大于、等属性不能使用于无限的数量，因而不能以有限的智力来讨论无限 找不出[0，1]区间的点与全体整数的一一对应。 定义：设A与B为二集，具有下面的性质 ：集A的任一元素a，有集B的唯一元素b与之对应，并且集B的任一元素b，也有集A的唯一元素a与之对应；此时称 建立了A与B的一对一的对应。 定义：若集A与集B间能建立一对一的对应，则称A与B是“对等”的，或者称它们的势是相同的，此事记作：A ∽B 几个对等集的例子： 定义 凡与集N对等的集A都叫做可数集,或称集 A是可数的。 定理1 正有理数的集合是可数的。 定理2 一个有限集和一个可数集如无公共元素，那么它们的和集是可数的。 定理3 两两不相交的有限个可数集的和集是可数的。 系1 全体整数的集合是可数的。 系2 全体有理数的集合是可数的。 定理4 两两不相交的可数个有限集的和集是可数的。 定理5 两两不相交的可数个可数集的和集是可数的。 定理6 实数集是不可数的。 证明：1）构造法 2）区间套法 定理7 存在着无理的实数。 至今为止，我们只发现了很少的超越数，如E，派等，都是一些非常独特的数，每一超越数的发现都是一次轰动。但从理论上非超越数只有可数个，所以这众多的数是什么样的，我们还一无所知，整数的研究还有很多事情可做。 与自然数一一对应的集合，也就是可数的集合，称为有“阿列夫”个数，自然数集合，整数集合，有理数集合，都是“阿列夫”个数的集合。而与全体实数一一对应的集合，称为有“c”个数。一个重要的猜想是可数的集合和实数集合之间没有其它的集合。 复数引进的重要意义： 使代数方程论成为一个完美的理论 (n个方程有n个根) 。 2)复数成为研究实分析的得力工具。“实域中两个真理之间的最短路程是通过复数”。 3）复数在电学、流体力学、弹性力学等领域都有重要应用。 1545,意大利数学家卡丹(Cardauo) ,在叙述二次方程式之解法时,首先产生了负数开平方的思想.他把40看作 与 的乘积。 1637 年，笛卡儿称一个负数的开方为「虚数」(imaginary number)。 1748 年，欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：e ix = cos x + i sin x ，并把它们应用到水力学、地图制图学上。 大约同时由维赛尔(1745-1818)、阿尔冈(1768-1822)