方根运算.doc

根式運算 --------------------------- (　重　點　整　理　( -------------------------- 一、平方根【平方根的乘法與除法】 我們首先看如何做平方根之間的乘法及除法運算。因為 = = = = ab， 由定義我們知道= ab，所以 ，其中a、b0。 同樣的，我們知道 ==，其中a 0、b0。 2.【最簡根式】 一個整數a為某個整數的平方時，我們就稱a為完全平方數，也叫做平方數，例如：81=，所以81為完全平方數，因此。，當被開方數是整數，且不是一個完全平方數時，我們可利用數的標準分解式及平方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡時，我們先把360寫成標準分解式： 360=， 再化簡得=。 當被開方數為有理數時，通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式。例如：我們會將平方根改寫成下的形式： （或） 也就是說，習慣上我們會將一個正有理數的平方根寫成或的形式，其中為最簡分數，n為大於1的整數，並且不能被任何大於1的整數的平方整除，我們稱這種形式的根式(或)為「最簡根式」例如：和都是最簡根式；但和就不是最簡根式。我們稱將平方根化成最簡根式的過程為「平方根化簡」。 (1) (2) 計算下列根式： (1) (2) (3) (4) 將下列根式化為最簡根式： (1) (2) (3) 將下列根式化為最簡根式： (1) (2) (3) (4) 化簡下列根式： (1) (2) (3) 化簡下列根式： (1) (2) (3) 1. 【立方根的乘法與除法】 兩個立方根之間的乘法與除法運算類似於平方根的情形，有下列的規則： (1) (2) =，其中。 2. 【最簡根式】 當被開方數為整數且不是一個完全立方數時，如同平方根的情形，我們可以利用數的標準分解式及立方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡時，我們先將720寫成，再利用乘法公式求得 =。 當被開方數為有理數時，通常會將運算結果寫成的改寫成（或）。 類似平方根的化簡，我們將立方根寫成（或）的形式，其中為最簡分數，n為大於1的整數，並且不能被任何大於1的整數的立方整除，我們稱這樣的過程為「立方根化簡」。例如：及都是最簡根式。 計算下列各式： (1) (2) (3) (4) 計算下列各式： (1) (2) (3) (4) 化簡下列各式： (1) (2) (3) 化簡下列式： (1) (2) (3) 化簡下列各式： (1) (2) 化簡下列各式： (2) 三、兩個常用的立方公式： = = 四.【根式分母的有理化】 如同平方根的有理化技巧，我們可 五.【認識高次方根】 除了a的立方根記為以外，其實平方根即為讀作「二次根號a」，但是2可以省略不寫。在高中數學的指數單元中，還會出現(讀作「四次根號a」)、(讀作「五次根號a」)…等高次方根。因此，若n為正整數，且時，我們就稱b為a的n次方根，並記作，其中讀作「n次根號a」，並稱a為「被開方數」。有意義，例如當n為偶數時，被開方數a必須為非負數；當n為奇數時，a可以為任意實數。 事實上，兩個n次方根之間的乘法與除法，也類似於平方根及立方根的運算規則：、有意義時， (1) (2) ，其中n2，。 如同平方根及立方根的情形，我們可以利用數的標準分解式來化簡高次根式。 a,b為兩個正整數，若以a?bq?r，則a,b的最大公因數與r,b的最大公因數相等，也就是(a,b)=(b,r)。[此為輾轉相除法求g.c.d之原理。] 利用立方公式化簡 利用立方公式化簡 有理化下列各根式的分母： (1) (2) 有理化下列各根式的分母： (1) (2) 化簡下列各式： (1) (2) (3) (4) (5) 化簡下列各式： (1) (2) (3) (4)  綜合練習