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海伦公式的几种另证及其推广 2002级3班 欧锦峰 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p =(a+b+c),则 S△ABC =aha=ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中，S△ABC =就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC =aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha === ∴ S△ABC =aha=a×= 此时S△ABC为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 =－ ∴ S△ABC =aha =a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形② S =可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = =ab×sinC 此时S =ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg· tg+ tg· tg+ tg· tg= 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 ·= 两边同乘以，得： r 2 ·= 两边开方，得： r ·= 左边r ·= r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg= tg= tg= 证明：根据tg== ∴r =× y ① 同理r =× z ② r =× x ③ ①×②×③,得： r3 =×xyz ∵由证一，x ==－c = p－c y ==－a = p－a z ==－b = p－b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。 海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴== = 解得： e = ① f = ② 由于S四边形ABCD =S△EAB 将①，②跟b =代入公式变形④，得： ∴S四边形ABCD = = = = = = = = = = = 所以，海伦公式的推广得证。 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD =,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 由海伦公式的推广，得： = (4－x)(2＋x)2 =27 x