二项分布是离散型机率模型中最有名的一个.docx

?指數分配與排隊理論令?W?表示在 Poisson 過程中，由開始到第一次事件發生的時間（這是一隨機變數）。由上節知?但?所以?這個機率分配稱為指數分配。可計算得?，這就是第一次事件發生的平均時間。另外，?。現在讓我們討論排隊理論。排隊的現象無所不在：買各種票、吃自助餐、超商、百貨公司……等。顧客揣度「應該排那一服務櫃台會比較快？」「到底還要排多久？」是城市生活的基本問題；相對的，商家也要盤算到底在何時要開幾個窗口櫃台才符合成本，探討這個問題的數學理論通稱為排隊理論，而指數分配經常被用到排隊理論，當作服務客人時間（這是一隨機變數）的機率密度函數。讓我們假設某櫃台，服務客人的平均時間為 μ，想像在服務結束後，櫃員會亮燈請下一位客人進來，則亮燈的平均時間是 μ。若將「燈亮」視為一事件發生，則亮燈的過程近似於一 Poisson 過程。而且前面定義的?W?正好表示兩次亮燈間的間隔。所以?W?的機率密度函數是指數分配：?例.現假設一櫃台平均服務時間為 3 分鐘，設等待時間的機率密度函數為?(1)等候時間超過6分鐘的機率是多少？?事實上，等候超過?T?分鐘的機率是?。(2) 另一個合理的問題是，如果在我前面還有另一個客人，則我怎麼描述，我等待時間的機率分配呢？令?W1?是第一個客人等待的時間，W2?是第一個客人開始被服務後，我所等待的時間，則?，而且總等待時間?U?=?W1+W2，另外顯然W1?與?W2?是互相獨立的。所以我們的問題就是要計算?fU(t)，由309頁例子的方法，可以計算得?或者，如果將指數分配?fW(t)?想成是??分配，則此相當於?因此如果我們想知道總等候時間不超過 5 分鐘的機率，則?有一半的機會。(3) 如果前面有?n-1?個客人時，則可定義?，其中Wi?彼此獨立，由 Gamma 分配性質知?，即?這告訴我們??分配與排隊理論的關係。我們將細節留作習題。習題：(1) 超級市場一服務員平均服務時間為?2?分鐘，若用指數分配當作等候時間之機率分配，則機率密度函數是什麼？(2) 如果他正開始服務一位客人，而你前面還有一位客人在等候，則你會等超過?6?分鐘的機率是多少？(3) 若服務員甲平均服務時間為 2 分鐘，而服務員乙之平均服務時間為 3 分鐘，如果你選擇乙，你朋友選擇甲，且一起開始接受服務，則你會比朋友快的機率是多少？（當然甲與乙的服務是相互獨立的） 你能給出一個一般的計算公式嗎？??放射衰變與考古斷代翁秉仁?.tw/首頁?|?.tw/articles/search.htm搜尋．作者任教於台大數學系．本文節錄改寫自作者《微積分講義》.tw/applications/ap_dating/notes.html註釋?放射衰變由實驗得知，放射性元素衰變的速率與其總量呈正比，令?M(t)?為時間?t?之總量，M0?為?t=t0?時之總含量，則?作與前節類似的計算，可得?習題： 一放射性物質衰變到僅剩一半時，所需的時間，稱為該物質的半衰期。(1) 已知碳14的半衰期為5700年，求 κ？(2) 鈷60之衰變常數為 0.13（1/年），求半衰期？Ans. (1)?（1/年）； (2) 5.3年。???碳14斷代法大氣中放射性的碳14二氧化碳與正常二氧化碳之比率近於定值。因此經由呼吸作用動植物體內也含有相同比率的放射性碳。但動植物死亡後，體內碳14不再獲得補充，因此隨著放射衰變，碳14的比率乃依前述衰變法則降低。利用這個方法，我們可以檢測考古遺址中發現的獸骨、木炭、貝殼、炭化種子的碳14含量，以斷定遺址存在的時間。遺址時間的測定，在考古人類學上有基本的重要性，藉以排比不同遺址間之先後，判別文化之傳承或相互影響。在碳14斷代法發明前，考古學家只能藉由間接的方法（某些器物的使用，陶器取樣類型之近似與複雜度等）來判斷。因此碳14斷代法的問世，是人類對史前史研究的一柄利器。例.（台灣大坌(ㄅㄣˋ)坑文化）?.tw/applications/ap_dating/notes.html註台灣大坌坑文化考掘出土之碳素標本（約1960年出土）， 其碳14含量範圍相對於正常大氣含量，均在 43% 到 60% 之間。 由前面習題知?。?同理由 60% 可得到?。因此大坌坑文化年代約在西元前2000年至5000年間，與仰韶文化約屬同期，為新石器時代早期之文化。一些學者相信，大坌坑文化為太平洋南島語族的起源，而台灣現存之原住民（高山九族與平埔族）便屬南島一系。習題在非洲挖掘出人頭蓋骨，其碳14含量相對於正常含量為?，請估計其年齡？（Ans.約兩萬年前）???地質年代或古生物學年代之測定對動輒上億年（地球年齡約45億年）的地質年代，利用半衰期僅5700年的碳14斷代是不可能的事情(why?)。幸好在礦石中，有其他的放射性物質可以利用：例如鈾238會衰變為鉛206