关于幂级数在条件数列中的应用(发表在学报).doc

幂级数在条件数列中的应用 陈引兰 余立婷 湖北师范学院数学与统计学院，湖北黄石，435002 摘要：本文通过若干初等函数的幂级数展开式及其变形，给出了用其他方法难以证明的条件数列和的代数恒等式，并给出了证明，其中二次s项数列和的恒等式，推广了王永元等关于条件数列二次二项、二次三项乘积和的恒等式。在此基础上讨论了通项是条件数列求和的若干正项级数的敛散性，而这些级数的敛散性用其它方法难以证明。 关键词：条件数列；幂级数；敛散性； 1 引言 文[1]中介绍了幂级数的相关知识，幂级数是一类简单而有用的函数项级数。在文[2]中，美国数论专家F.Smrandache提出了初等数论及集合论中105个未解决的问题让大家研究，其中有5个问题是关于数列的性质问题，可见对数列的研究非常重要。 本文先定义了条件数列，利用若干基本初等函数的幂级数展开式的变形，发现了条件数列求和规律，给出了通过其他方法较难证明的条件数列和的代数恒等式，结果以定理1-6给出。定理7是文[3]中的定理和定理的一个推广，即文[3]中的定理3和定理4是本文定理7的推论，并给出了证明，这一部分的推广还给出了求其他条件数列和的方法。接着利用这些恒等式，讨论了通项是条件数列求和的正项级数的敛散性，而这些级数的敛散性用其他方法也不易判断。 为了下面叙述的方便，先给出条件数列的定义。 定义1 当一个数列的通项的序满足一个特定的不定方程式时，把它叫做条件数列。称条件数列的通项的序满足的不定方程中的未知数个数为条件数列的项，称条件数列的通项中各未知数的最高次数为条件数列的次数。 例如：数列求和 （其中为自然数），它的序满足这样的不定方程式，其中未知数的个数为2，通项中各未知数的最高次数为1，所以它是一个一次二项的条件数列。 而数列就是一个二次s项的条件数列。 2 若干条件数列求和的恒等式 ———————————————— 陈引兰(1974-),女, 湖北罗田人，副教授，硕士，主要从事代数学研究。湖北师范学院科研项目(NO：2006D12 ) 余立婷(1991-),女, 湖北老河口人，通讯作者，数统院1001班学生，2011年湖北师范学院本科生科研项目(NO：2011110 ) 2.1一次二项、一次三项、一次四项条件数列求和. 下面的定理1和定理2是一次二项条件数列求和. 定理1 设为自然数，则有. 证明：由，由文可,得， 所以 根据幂级数乘法，由文知：，故 比较式中的系数可得 所以 . 定理2 设为自然数，则有. 证明 由，又由 所以 又有幂级数乘法 比较式中的的系数知 所以 . 下面的定理3和定理4是一次三项条件数列求和。 定理3 设为自然数，则有 . 证明 由，由及的幂级数展开式 可得 又由幂级数的乘法知， 比较式中的系数可得 所以 . 定理4 设为自然数，则有. 证明：由，又由 知 再由幂级数的乘法得 比较式中的系数可得 . 下面的定理5和定理6是一次四项条件数列求和。 定理5 设为自然数，则有 . 证明 由，又由，，所以 由幂级数乘法知： 比较式中的系数知 所以 . 定理6 设为自然数，则有 . 证明 由，又由 得 又由幂级数的乘法 比较式中的系数可得 所以 . 注 定理1-定理6的推广： 定理1-定理6只是给出了通项中分母同时是奇数的阶乘或者同时是偶数阶乘的条件数列求和恒等式，如果需要分母中是若干个奇数的阶乘和偶数的阶乘求和的恒等式，则可以利用相应的三角函数的恒等变形和它们的幂级数展开式，比较左右两边幂级数展开式的系数，求出条件数列求和的恒等式。 例如：如果要求条件数列的和，则可以利用等式，比较等式左右两边的幂级数展开式的系数，可以得到结果。 2.2 二次s项条件数列乘积和的恒等式 定理7 设为自然数，为大于的自然数，则有 . （注：当时,规定）. 证明：设，则，从而 又，所以 令，分别得到下面的推论1,2. 推论 设为自然数，则有. 推论 设为自然数，则有 . 3若干通项是条件数列的正项级数的收敛性 命题1 级数是收敛的. 证明 由定理1知，所以 的收敛性可以转化为判断正项级数的收敛性。令，则，由比式判别法知是收敛的，所以级数是收敛的。 命题2 级数是收敛的. 证明 由定理2知，所以 ， 由比式判别法知收敛，