关于幂级数在条件数列中的应用.doc

论文1 关于幂级数在条件数列中的应用 余立婷，成亮 （指导老师：陈引兰） （湖北师范学院数学与统计学院1001班） 摘要：本文通过若干基本初等函数的幂级数展开式的变形，发现了条件数列的乘 积和规律，分别给出了条件数列的一次二项、一次三项、一次四项、二次s项乘积和的代数恒等式，推广了王永元等关于条件数列二次二项、二次三项乘积和的代数恒等式，并给出了证明；同时在此基础上讨论了通项是条件数列的若干正项级数的敛散性。 关键词：条件数列；幂级数；敛散性； 1 预备知识 文[1]中介绍了幂级数的相关知识，幂级数是一类简单的函数项级数，本文借助于基本初等函数的幂级数展开式，得到一些有用的恒等式并且讨论了一类数项级数的敛散性。 在文[2]中，美国数论专家F.Smrandache提出了初等数论及集合论中105个未解决的问题让大家研究，其中有5个问题是关于数列的性质问题。 本文定义了条件数列，首先利用若干基本初等函数的幂级数展开式的变形，发现了条件数列的乘积和规律，给出了一般的一次二项、一次三项、一次四项条件数列和的代数恒等式，结果以定理1~6给出；另外对于定理7而言，是文[3]中的定理和定理的一个推广，即文[3]中的定理3和定理4是定理7的推论，并给出了证明，这一部分的推广还给出了求其他条件数列和的方法。本文接着利用这7个恒等式，讨论了通项是条件数列的正项级数的敛散性。 为了下面叙述的方便，给出条件数列的定义。 定义1：当一个数列它的通项的序满足一个特定的不定方程式时，把它叫做条件数列。把条件数列的通项的序满足的不定方程中的未知数个数叫做条件数列的项；把条件数列的通项中未知数的最高次数叫做条件数列的次数，。 例如：数列（其中为自然数），它的序满足这样的不定方程式，其中未知数的个数为2，通项中未指数的最高次数为1，所以它是一个一次二项的条件数列。 而数列就是一个二次s项的条件数列。 2 若干条件数列的乘积和的恒等式 2.1一次二项、一次三项、一次四项条件数列的乘积和. 下面的定理1~定理2是一次二项条件数列的乘积和. 定理1 设为自然数，则有. 证明：由，由文可,得， 所以 根据幂级数乘法，由文知：，故 比较式中的系数可得 所以 . 定理2 设为自然数，则有. 证明 由，又由 所以 又有幂级数乘法 比较式中的的系数知 所以 . 下面的定理3和定理4是一次三项条件数列的乘积和。 定理3 设为自然数，则有 . 证明 由，由文可得， 所以 又由幂级数的乘法知， 比较式中的系数可得 所以 . 定理4 设为自然数，则有. 证明：由，又由 知 再由幂级数的乘法得 比较式中的系数可得 . 下面的定理5和定理6是一次四项条件数列的乘积和。 定理5 设为自然数，则有 . 证明 由，又由，，所以 由幂级数乘法知： 比较式中的系数知 所以 . 定理6 设为自然数，则有 . 证明 由，又由 得 又由幂级数的乘法 比较式中的系数可得 所以 . 定理1定理6的推广： 定理1定理6只是给出了通项中分母同时是奇数的阶乘或者是偶数阶乘的条件数列的乘积和恒等式，如果需要分母中是若干个奇数的阶乘和偶数的阶乘的乘积和的恒等式，则可以利用相应的三角函数的恒等变形和它们的幂级数展开式，比较左右两边幂级数展开式的系数，求出条件数列的乘积和的恒等式。 例如：如果要求条件数列的和，则可以利用等式，比较等式左右两边的幂级数展开式的系数，可以得到结果。 2.2二次s项条件数列乘积和的恒等式 定理7 设为自然数，为大于的自然数，则有 . （注：当时,规定）. 证明：设，则，从而 又，所以 推论 设为自然数，则有. 推论 设为自然数，则有 . 3若干通项是条件数列的正项级数的收敛性判断 命题1 级数是收敛的. 证明 由定理1知，所以 的收敛性可以转化为判断正项级数的收敛性。令，则，由比式判别法知是收敛的，所以级数是收敛的。 命题2 级数是收敛的. 证明 由定理2知，所以 ， 由比式判别法知收敛，所以收敛。 命题3 级数是收敛的. 证明 由定理3知：， 所以级数的收敛性和的收敛性一致。令由比式判别法知收敛。而 ，所以是收敛的，所以是收敛的。 命题4 级数是收敛的. 证明 由定理4知，所以 又因为，由比式判别法知和 收敛，所以收敛，所以