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第一章.doc
第一章 复数与复变函数
(Complex number and function of the complex variable)
第一讲
授课题目:§1.1复数
§1.2 复数的三角表示
教学内容:复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.
学时安排:2学时
教学目标:1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义
2、切实理解掌握复数的辐角
3、掌握复数的表示
教学重点:复数的乘方、开方运算及它们的几何意义
教学难点:复数的辐角
教学方式:多媒体与板书相结合.
作业布置:思考题:1、2、3.习题一:1-9
板书设计:一、复数的模和辐角
二、复数的表示
三、复数的乘方与开方
参考资料:1、《复变函数》,西交大高等数学教研室,高等教育出版社.
2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》,高
等教育出版.
课后记事:1、基本掌握复数的乘方、开方运算
2、不能灵活掌握复数的辐角(要辅导)
3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算
教学过程:
引言
复数的产生和复变函数理论的建立
1、1545年,意大利数学家Cardan在解三次方程时,首先产生了负数开平方的思想.后来,数学家引进了虚数,这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.
2、1777年,瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论,发现了复指数函数和三角函数之间的关系,创立了复变函数论的一些基本定理,并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位,也是Euler首创的.
3、19世纪,法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力,建立了系统的复变函数理论,这些理论知直到今天都是比较完善的.
4、20世纪以来,复变函数理论形成了很多分支,如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等,并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.
5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展,在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数
(Complex number)
复数的概念(The concept of complex)
1、称为复数,其中,是虚数单位;通常记为;
2、和分别称为的实部和虚部,分别记作,;
3、纯虚数:若称为纯虚数;当,那么称为虚数;当时,那么就是一个实数;
4、两个复数相等:复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等.
5、共轭复数:称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记的共轭复数为.设复数,则称为复数的共轭复数(Conjugate),记作
注1:两个虚数之间不能比较大小.
例如,设,则,即,矛盾.
注2:
二、复数的四则运算(Complex number arithmetic)
设 则
()
容易验证下列公式:
(1) , (2) , (3) ,
(4) ,
,
(5) , ,(6) .
显然,复数的运算满足交换律、结合律和分配律.
复数在四则运算这个代数结构下,构成一个复数域,记为.
三、复平面(Complex plane)
作映射:,则在复数集与平面之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中,横坐标轴上的点表示实数,X轴称为实轴,纵坐标轴上的点表示纯虚数,Y轴称为虚轴;把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面(Complex plane)或Z平面.
注3 复平面一般称为-平面,-平面等.
§1.2 复数的三角表示
(The representation of complex number)
一、复数的模和辐角(Complex modulus and Argument)
如图: 复数用向量来表示.向量的长度称为复数的模,记作:;
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角(Argument),记作:.
由于任意非零复数有无限多个辐角,用表示符合条件
的一个角,称为复数主辐角(Main Argument).即的主值,于是
此时有.
注4 当时辐角无意义.
当时,有如下关系(,)
例1 求
解
二、复数模的三角不等式(Plural triangle inequality)
关于两个复数与的和与差的模,有下列不等式:
(1);(2);
(3);(4);
(5);(6).
例2 设,是两个复数,求证:
证明
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