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线性代数07考研问答 —海天学校 何坚勇 教授 问：线性代数占数学成绩的25%，有38分之多，但很多同学觉得线性代数不如微积分好学，常常感到“书能看懂，课能听懂，就是不会作题”。这是为什么？ 答：因为微积分、线性代数，概率论与数理统计是数学的三门独立学科，其特点各自不同，要针对不同学科的不同特点来进行学习，只有了解了各自学科的特点，才能谈得上进一步掌握它，知已知彼嘛。 问：线性代数课程有哪些特点？ 答：通俗地说主要有四个特点： 1、概念多、联系紧密、相互渗透，且这种联系比较隐蔽，这是线代最主要的一个特点。概念之间的联系往往是我们解题的思路、方向。如果你对这种联系了解甚少，甚至根本不知，那么解题就失去了方向，就会感觉无从下手。 而线性代数概念之间紧密且隐蔽的联系，在书本上是分散在各章中，没有现成的。要我们同学在学习过程中，通过不断归纳、总结而提取获得的。如： n阶矩阵A可逆A为满秩矩阵作方程组AX＝0只有零解A可通过一系列初等行变换化成单位矩阵InA可分解为一系列初等矩阵的乘积A可分解为一系列可逆矩阵的乘积A的行向量组线性无关A的列向量组线性无关A的行（列）向量组是n维向量空间Rn中的一组基任一个n维向量α均可由A的列（行）向量组线性表出对任意的b，方程组AX＝b必有唯一解，且X＝A-1bA没有零特征值。 AT A为正定矩阵。 上述十几个概念是等价的（充分必要的），给了一个就可推出其余的。在教科书中是分散在六章中介绍的。而学过线性代数后就要把它总结归纳且掌握住。在一个证明题，甚至计算题中，往往根据已知条件提供的概念及所要证明或计算的结论，找出等价的概念逐步进行演算。 例：已知n阶矩阵A，求证存在一个非零的n阶矩阵B，使AB＝0的充分必要条件是。这个题的题干条件是矩阵运算。要证结论是行列式，而要用到的等价概念是线性齐次方程组AX＝0有非零解。 2、线代第二个特点是符号多，下标多，有时下标中带下标。如： … 每一个符号实际上都体现了一个概念，都必须掌握并明白无误。 关于下标的概念是一部份同学尤其是原来学文、财会、医等同学感到困难的地方，下标是用来区分不同元素的一个符号标记，如行列式中，与，前者表示排在第三行第一列的元素，后者表示处在第2行第4列的元素，再进一步抽象化：表示处在第行第列位置的元素。 有时下标取值范围的不同表达形式，可用来反映不同的内容，如： (Ⅰ) ： 及 (Ⅱ) ： (Ⅰ) 与(Ⅱ)的主要部份都是相同的：都是第i方程的∑记号简写形式。但后面括弧中下标i的取值范围不同，(Ⅰ) 所反映的是一个m×n型的线性方程组，而(Ⅱ)描述的是这方程组中(i从1→m中)某一个方程。因此想学好线性代数“符号及下标”是必须要过的一关。 第三个特点：线性代数中有些运算性质与初等代数的运算性质不同，甚至相悖。这是部份同学常常犯错误的地方。 如在初等代数中：乘法交换律： ；零因子定律：若 则或或；消去律：若 且 则 b＝c 等，是我们非常熟悉的运算性质。 但在矩阵的乘法运算中就不成立： (1) 交换律不成立，一般讲 (2) 零因子定律不成立：若 或A＝0， 或B＝0 (3) 消去律不成立：若 且 A≠0 B＝C 在线性代数中，对运算的要求很简单，只是＋，－，×，÷，甚至连开方都很少用到，但计算工作量大，“马虎”式的错误不少。如有一次考研解题过程中，有，好几个同学得到 以下计算就全错。也有不少同学将：，写成矩阵形式为：(3，2，－4，1) 等等。使往下计算工作都白做。因此学习线性代数要牢记特有的与初等代数有别的运算性质。对于经常犯“马虎”毛病的同学一定要培养自己计算正确的运算习惯，别无它法，否则很是吃亏。 在历届考题中，计算往往要占到总量的70%以上，而计算错误多也是线性代数考研题得分率不高的原因之一。 第四个特点：相对微积分讲，线性代数中部分内容对抽象思维能力与逻辑推理能力要求比较高。如向量组的线性无关概念，矩阵秩的概念，向量空间的概念等，相对讲比较抽象。要通过不断反复体会、琢磨 不仅从正面，还要从各个侧面，甚至从反面去思考、分析才能逐步加深理解，掌握实质。 如：“矩阵A有一个r阶子式不为0，而所有的r+1阶子式全为0，则称A的秩为r”。我们可以思考：A有没有为0的r阶子式？有没有不为0的r＋2阶子式？有没有为0的r－1阶子式？有没有不为0的r－1阶子式？所有的r－1阶子式全为0行不行？全不为0行不行？(r－2)阶又怎么样？又如“矩阵A的秩大于r”又会得到什么样的结论？等等都是可进一步思考的侧面。 像这些较抽象不易理解的概念要用较长时间反复体会、琢磨才能做到真正掌握。 只有了解了线代课程的特点，对自己薄弱环节有针对性地进行复习，才能取得事半功倍的效果。 问：有人说，线性代数只要大量作题