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單元一：乘法公式與多項式 一、多項式定義： 凡可以寫成的式子稱為x的多項式。多項式常記做等等，其中分別是項的係數而稱為常數項。 1. n次多項式:當最高次項係數時，該項的乘冪n稱為的次數，並以表示。 2.常數多項式(a=a=…=a=0)可分為 (1)零次多項式: 條件為，次數為0，如3，7，28為x的零次多項式 (2)零多項式: 條件為，無次數可言。 二、乘法公式 1.分配律： 2.和的平方公式： 3.差的平方公式： 4.平方差公式： 5.和的立方公式： 6.差的立方公式： 7. 三項和的完全平方公式：= 8.立方和： 9.立方差： 10. 11. 【例題1】設f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e，其中a、b、c、d、e為整數，且|a－1|＋3|b－3|＋4|c＋1|＝1，試求f(x)之領導係數，並問f(x)為幾次式？ 【例題2】於(x5＋2x4－x3＋2x2－3x－2)與(3x6＋2x5＋x4＋x3＋2x2＋3x＋1)之乘積中，試求：(1) x7項之係數 (2) x9項之係數 (3) 乘積展開式之各項係數和 【例題3】A(x)＝(2x3－3x2＋2x＋1)2，B(x)＝4x2－3x＋5，試求A(x)B(x)之奇次項係數總和。 【例題4】已知a、b、c為整數，若(x－a)(x－10)＋1＝(x－b)(x－c)，則a、b、c之值為何？ 【例題5】對任意x為實數，恆為定值，則2l－m之值為何？ 【例題6】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) 2012 (2) 1992 (3) 295×305 (4) 【例題7】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) 3052 (2) 2982 (3) 159×161 (4) 1982 – 982 【例題8】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) (1.02)3 (2) 993 (3) (10＋3) (102－10×3＋32) (4) (60－2) (602＋60×2＋22) 【例題9】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) 1043 (2) 0.993 (3) (10＋20) (102－10×20＋202) (4) (30－7) (302＋30×7＋72) 【例題10】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) (2x＋1) (3x－5) (2) (2x＋y) (2x－y) (3) (3x＋1)2 (4) (5x－3y)3 【例題11】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) (4x＋3y) (5x－y) (2) (3a＋2b) (3a－2b) (3) (5x＋2y)2 (4) (3a＋b)3 【例題12】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) (2x＋y)3 (2) (3x－2y)3 (3) (x＋2y) (x2－2xy＋4y2) (4) (x－2) (x2＋2x＋4) 【例題13】試利用乘法公式求下列各式之值： (1) (a＋3b)3 (2) (x－4y)3 (3) (x＋3) (x2－3x＋9) (4) (3x－2y) (9x2＋6xy＋4y2) 【例題14】設a + b + c = 7，a2 + b2 + c2 = 27，試求ab + bc + ca之值。 【例題15】設a + b + c = －3，ab + bc + ca = 2，試求a2 + b2 + c2之值。 單元二：多項式的除法與餘式定理 一、多項式的除法：長除法或分離係數法(注意缺項要用0補) 二、多項式的除法原理 ，； (被除式=除式商式＋餘式) 三、因式與倍式： ，，若除以之餘式為0，則稱為之倍式，也 就是整除，記為|，此時稱為之因式。 四、綜合除法： 試利用綜合除法求的商式與餘式。 Ans：商式為，餘式為11 五、餘式定理：設為一 n次多項式，則，此結果可以表示成其中 六、因式定理：(ax－b)|f(x)(ax－b)為f(x)之因式 【例題1】試求(x4－5x2－2x＋1) ÷ (x2＋2x－4)的商式與餘式。 【例題2】試求(6x4＋20x3－7x＋5) ÷ (x3＋3x2－2)的商式與餘式。 【例題3】若多項式x3＋4x2＋5x－3除以f(x)的商式為x＋2，餘式為2x－1，試求f(x)。 【例題4】已知兩多項式A和B，B = 3x2＋5x，若A除以B所得商式為3x－