2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准.docVIP

2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1. 设，则 （ ） A.24. B. 25. C. . D. . 【答】A. 由，得，故.所以 . 2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ） A.. B. . C. . D. . 【答】C. 延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以. 3．用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 （ ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 【答】C. 由方程得，而，所以，即，解得，从而只可能取值. 当时，，解得； 当时，，没有符合条件的解； 当时，，没有符合条件的解； 当时，，解得； 当时，，解得. 因此，原方程共有3个解. 4．设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ） A.. B. . C. . D. . 【答】B. 不妨设正方形的面积为1.容易知道，以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的三角形都是等腰直角三角形，它们可以分为两类： （1）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的四个顶点之一，这样的三角形有4个，它们的面积都为； （2）等腰直角三角形的直角顶点为正方形ABCD的中心O，这样的三角形也有4个，它们的面积都为. 所以以五个点A、B、C、D、O为顶点可以构成4＋4＝8个三角形，从中任意取出两个，共有28种取法. 要使取出的两个三角形的面积相等，则只能都取自第（1）类或都取自第（2）类，不同的取法有12种. 因此，所求的概率为. 5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝ （ ） A.. B. . C. . D. . 【答】 D. 设BC的中点为O，连接OE、CE. 因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE. 又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即. 又CE⊥BE，所以，故CBE＝. 6．设是大于1909的正整数，使得为完全平方数的的个数是 （ ） A.3. B. 4. C. 5. D. 6. 【答】B. 设，则，它为完全平方数，不妨设为（其中为正整数），则. 验证易知，只有当时，上式才可能成立.对应的值分别为50，20，10，2. 因此，使得为完全平方数的共有4个，分别为1959，1989，1999，2007. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．已知是实数，若是关于的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是____________. 【答】. 因为是关于的一元二次方程的两个非负实根，所以 解得. ， 当时，取得最小值. 2． 设D是△ABC的边AB上的一点，作DE//BC交AC于点E，作DF//AC交BC于点F，已知△ADE、△DBF的面积分别为和，则四边形DECF的面积为______. 【答】 . 设△ABC的面积为,则因为△ADE∽△ABC，所以. 又因为△BDF∽△BAC，所以. 两式相加得，即，解得. 所以四边形DECF的面积为. 3．如果实数满足条件，，则______. 【答】 . 因为，所以.由可得 ，从而，解得. 从而，因此，即，整理得，解得（另一根舍去）. 把代入计算可得，所以. 4．已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_____对. 【答】 7. 设（为正整数），则，故为有理数. 令，其中均为正整数且.从而，所以，故，所以. 同理可得（其中为正