第六章二次型.doc

6.3 基本内容 6.3.1 二次型及其矩阵形式 (1) 定义 n变量的二次齐次函数 (其中R)， 称为n个变量的二次型。 注 若（）则称f为标准型。 矩阵形式 其中，这里，即A为实对称矩阵。 注1 实对阵矩阵A成为二次型f的矩阵，而A的秩称为该二次型的秩。 注2 二次型与实对称矩阵是一一对应的，即二次型的矩阵必为实对称矩阵，而任一实对称矩阵均可看做是某一二次型的矩阵。 注3标准型的矩阵是对角阵。 6.3.2 与二次型的标准型有关的概念 满秩线形变换 设可逆，则称x=Py为由到的满秩线形变换。 注 若P为正交矩阵，则称为正交的（线性）变换。 (2) 合同矩阵 设A，B为n阶方阵，若存在n阶可逆阵C，使 则A合同与B，C为合同变换阵。 注1 若C为正交阵，满足，A与B既合同，又相似。 注2 合同矩阵秩相等。 注3 合同关系满足自反性、对称性、传递性。 (3) 对任一个二次型，总可以通过满秩线形变换x=Py化为 成为f的标准型。其中r=r(A)，即任一二次型均可通过满秩变换化为标准形。 注1 f的标准型矩阵D=与f的矩阵A合同。 注2 将二次型化为标准形的满秩变换不是唯一的，从而二次型的标准形也不是唯一的。 注3 当时的标准型成为f的规范型。其形式为，二次型的规范形是唯一的。 (4) 惯性律 对一个二次型，无论用哪一个满秩变换将其化为标准形，其标准形中平方项前正系数个数p和负系数个数r-p都是唯一确定的，称p为二次型的正惯性指数，r-p为负惯性指数（其中r为A的秩），而p-（r-p）称为符号差。 注 两个n个变量的不同的二次型的正、负惯性指数如果相等，则它们有相同的规范形。 6.3.3 化二次型为标准型的方法 配方法 对二次型 从左边先找出一个系数不为零的平方项，把所有包含的项集中在一起，配成完全平方的形式；接着寻找下一个系数不为零的平方项，同样把所有包含的项集中到一起，配成完全平方的形式。依次类推，直到二次型的每一项都成为完全平方的形式。 注 若二次型，但，则可先做满秩变换 化为二次型为含平方项的二次型，再按上述方法配方。 (2) 正交变换法 对二次型，由于A是对称阵，故按实对称阵正交对角化的方法总可找到正交阵Q，使 =diag（ 所以由正交变换x=Qy，可得 注 用正交变换得到的标准形平方项前的系数必为A的特征值，但若用其他满秩变换化为标准型，则平方项前系数A的特征值无关。 6.3.4 正定二次形和正定矩阵的概念 对于任意n维非零向量x，若恒有，则称f为正定二次型，f的矩阵A称为正定矩阵，记作A0。 注1 正定矩阵必是对称阵 注2 若对任意，有，且存在，使，则称f或A为半正定，记作A0，类似地可以定义f或A为负定或半负定。 6.3.5 正定矩阵的判别方法 设A为n阶实对称阵。 若A的正惯性指数等于n，则A正定。 若A的特征值全是正的，则A正定。 若A的各阶前主子式均大于零，则A正定。 若A合同于单位阵，即（C为可逆阵），则A正定。 用正定的定义，即，则A正定。 注1 上述各条均为实对称阵A正定的充要条件，最常用的方法是(2)，(3)，(5)。 注2 n阶矩阵A=的k阶前主子式也成为顺序主子式，即为行列式 共有n个。 注3 对负定矩阵来说，类似于方法(3)的结论应为： 若，则A负定。 6.3.6 正定矩阵的有关结论 (1) A正定，则 注 这是正定的一个必要条件，常用来判定A不是正定的，但不能用来判断A正定。 (2) A正定，则（m为正整数）均为正定矩阵。 (3) A，B为n阶的正定矩阵，则A+B也是正定矩阵。 6.4 典型例题分析 1）用正交变换化二次型为标准型问题 （1）对实对称矩阵A，求正交矩阵Q，使（为对角阵）。 （2）对二次型，求正交矩阵Q，使（为对角阵），则当时，有为标准型。 方法：关键是求正交矩阵Q，步骤为： （1）求出A的所有特征值； （2）对重特征值，将的基础解系正交化； （3）将n个正交的特征向量标准化得； 则即为所求， 例1 设 （1）将A对角化。