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第七章 线性变换 §1基本知识 §1. 1 基本概念 1、线性变换： 2、线性变换的运算 （1）加法： （2）减法： （3）数乘： （4）乘法： 3、线性变换在给定基下的矩阵： 4、矩阵的相似： 5、矩阵的迹与范数： 6、矩阵的特征多项式： 7、特征值与特征根： 8、线性变换的对角化： 9、线性变换的值域： 10、线性变换的核： 11、线性变换的秩与零度： 12不变子空间： 13、若尔当块与若尔当形矩阵： 14、最小多项式： §1. 2 基本定理 定理7.1设是数域上的线性空间上的线性变换的全体构成的集合，那么关于线性变换的加法和数乘运算也构成数域上的线性空间； 定理7.2设是数域上的维线性空间的一个基，是上任意个向量，则存在唯一的线性变换，使得：； 定理7.3（线性变换与给定基下的矩阵的对应与运算定理）设是数域上的维线性空间的一个基，对任意线性变换，令和它在给定的这个基下的矩阵对应，那么这个对应是到的一一对应，且设在这个基下的矩阵分别是，，那么 （1）； （2）； （3）； （4）可逆的充分必要条件是：为可逆矩阵；且。 定理7.4（象的坐标计算公式）设在数域上的维线性空间上的基下的矩阵是，在基下的坐标是，在基下的坐标是，那么： ； 定理7.5（线性变换关于不同基的矩阵相似定理）设在数域上的维线性空间上的基和下的矩阵分别是和，基到的过渡矩阵是，那么：； 定理7.6 （线性变换关于不同基的矩阵相似定理）同一线性变换在不同基下的矩阵是相似矩阵；反之，两个相似的矩阵一定可以成为同一个线性变换在两组基下的矩阵； 定理7.7 相似矩阵的特征多项式相等； 定理7.8 （线性变换对角化的条件）设是数域上的维线性空间上的一个线性变换，那么在的某个基下的矩阵是对角矩阵的充分必要条件是：有个线性无关的特征向量，即有一个由的特征向量构成的基； 定理7.9 属于不同特征值的特征向量一定是相性无关的； 推论7.1设是数域上的维线性空间上的一个线性变换，如果的特征多项式在数域上有个不同的特征值，那么可以对角化； 推论7.2 设是复数域上的维线性空间上的一个线性变换，如果的特征多项式没有重根，那么可以对角化； 定理7.10 设是线性变换所有不同的特征值 是的属于特征值的线性无关的特征向量，那么： 线性无关； 定理7.11设是数域上的维线性空间上的一个线性变换，是的一个基，在基下的矩阵是，那么 （1）； （2）的秩； 定理7.12设是数域上的维线性空间上的一个线性变换，则的值域的一个基的原象和的核的一个基并起来构成的一个基；由此得： 的秩+的零度。 推论7.3 设是数域上的维线性空间上的一个线性变换，则是满射的充分必要条件是：是单射； 定理7.13 （凯莱—汉密尔顿定理）设是级矩阵的特征多项式，则：； 定理7.14 设线性变换的特征多项式为，它可以分解为 那么可以分解为不变子空间的直和 ， 其中 定理7.15设是复数域上的线性空间的一个线性变换，则一定存在上的一个基，使得：在这个基下的矩阵是若尔当形矩阵，称为的若而当标准形； 定理7.16 每个级复矩阵都相似于一个若而当形矩阵； 定理7.17数域上的级矩阵相似于一个对角矩阵的充分必要条件是：的最小多项式在上可以分解为互素的一次因式的乘积。 推论7.4复数域上的级矩阵相似于一个对角矩阵的充分必要条件是：的最小多项式没有重根。 §1. 3 基本性质 性质7.1线性变换的运算性质：设 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）若线性相关，则线性相关。 性质7.2 相似矩阵的性质： （1）自反性：任何矩阵自身和自身相似； （2）对称性：如果矩阵相似于，则也相似于； （3）传递性：如果矩阵相似于，相似于，则相似于； （4）相似的矩阵的迹与范数相等。 性质7.3 最小多项式的性质： （1）矩阵的最小多项式是唯一的； （2）如果矩阵的最小多项式是，那么以为根的充分必要条件是； （3）设矩阵是一个准对角型矩阵 若的最小多项式分别是，那么的最小多项式是； §1. 4 基本运算 1、求线性变换在给定基下的矩阵： 计算步骤 求出基向量的象； 求出在基下的坐标； 下结论 为所求。 例7.1（北大教材，P321，7，3）） 2、求线性变换的特征值与特征向量： 计算步骤 求出在基下的矩阵； 求出的特征多项式； 特征多项式在数域上的所有根就是的所有特征值； 对每一特征值，解齐次线性方程组 求出它的基础解系 ，，， 则 （不全为零） 是的属于特征值的所有特征向量，其中 。 例7.2（北大教材，P324，19） §2 基本题型及其常用解题方法 §2.