第五章二次型无答案.doc

第五章 二次型 §1基本知识 §1. 1 基本概念 1、二次型： 2、二次型的矩阵： 3、二次型的秩： 4、二次型的（非退化）线性替换： 5、二次型的等价： 6、矩阵的合同： 7、二次型的标准型： 8、二次型的规范性： 9、二次型的正（负）惯性指数与符号差： 10、正定（负定）二次型： 11、半正定（半负定）二次型： 12、正定（负定）矩阵： 13、半正定（半负定）矩阵： 14、顺序主子式： §1. 2 基本定理 1、标准型的存在性定理：数域上任何一个二次型都可以经过一个非退化的线性替换化成标准型； 用矩阵的语言就是：数域上任何一个对称矩阵都合同于一个对角形矩阵，即存在数域上的一个可逆矩阵，使得是对角形矩阵； 2、规范性的存在唯一性定理： （1）复数域上任何一个二次型都可以经过一个适当的非退化的线性替换化成规范性，且规范性是唯一的； 用矩阵的语言就是：复数域上任何一个对称矩阵都合同于一个如下形式的对角形矩阵 其中对角线上1的个数等于对称矩阵的秩；两个复对称矩阵合同的充分必要条件是，它们的秩相等； （2）实数域上任何一个二次型都可以经过一个适当的非退化的线性替换化成规范性，且规范性是唯一的； 用矩阵的语言就是：实数域上任何一个对称矩阵都合同于一个如下形式的对角形矩阵 其中对角线上1的个数等于实对称矩阵的正惯性指数；的个数等于实对称矩阵的负惯性指数，两个实对称矩阵合同的充分必要条件是，它们的秩和符号差相等； 3、正定二次型（正定矩阵）的判定定理： （1）元实二次型是正定二次型该二次型的秩和符号差都等于该二次型的规范型是； 阶实对称矩阵是正定矩阵该矩阵的秩和符号差都等于该矩阵合同于单位矩阵； （2）元实二次型是正定二次型该二次型的正惯性指数等于； 阶实对称矩阵是正定矩阵该矩阵的正惯性指数等于； （3）元实二次型是正定二次型该二次型的所有顺序主子式都大于0； 阶实对称矩阵是正定矩阵该矩阵的所有顺序主子式都大于0； 4、负定二次型（负定矩阵）的判定定理： （1）元实二次型是负定二次型该二次型的秩等于，符号差等于； （2）元实二次型是负定二次型该二次型的负惯性指数等于； （3）元实二次型是负定二次型该二次型的所有奇数阶顺序主子式都小于0，所有偶数阶顺序主子式都大于0； 5、半正定二次型（半正定矩阵）的判定定理： （1）元实二次型是半正定二次型该二次型的秩和符号差相等； （2）元实二次型是半正定二次型该二次型的负惯性指数等于0； （3）元实二次型是半正定二次型该二次型的所有顺序主子式都是非负数； 6、半负定二次型（半负定矩阵）的判定定理： （1）元实二次型是负定二次型该二次型的秩和负惯性指数相等； （2）元实二次型是负定二次型该二次型的正惯性指数等于0； （3）元实二次型是负定二次型该二次型的所有奇数阶顺序主子式都小于或等于0，所有偶数阶顺序主子式都大于或等于0； §1. 3 基本性质 1、线性替换的性质： （1）非退化的线性替换不改变二次型的秩； （2）非退化的线性替换将二次型变成与之等价的二次型，即两个二次型对应的矩阵是合同矩阵； 2、合同变换的性质： （1）自反性：任何矩阵自身和自身合同； （2）对称性：如果矩阵合同于，则也合同于； （3）传递性：如果矩阵合同于，合同于，则合同于； （4）合同变换不改变矩阵的秩，也不改变矩阵的对称性； §1. 4 基本运算 1、求二次型对应的矩阵： 例5.1（95，10分）已知二次型 （1）写出二次型的矩阵表达式； （2）用正交变换把二次型化为标准型，并写出相应的正交矩阵. 2、求二次型的非退化线性替换的变换矩阵： 例5.2（北大教材，P232，1.7） 3、求二次型的秩： 例5.3（04，4分）二次型的秩为 本题应填； 解 令，即，则，对应的矩阵的秩为2，故二次型的秩是2. 说明 ① 若令，由此得：，因此认为二次型的秩是3是错误的.因为此时，而，因此不是可逆矩阵，所以上述变换不符合二次型的变换矩阵为可逆矩阵的要求，因此也不能把二次型化为的形式； （2）将原二次型展开得：，因而得对应的矩阵为，求出的秩，也可以得结论. 4、二次型的标准化： 例5.4化二次型 为标准形. 5、求实二次型的正、负惯性指数，符号差： 例5.5 求例5.1中的二次型的正、负惯性指数，符号差. §2 基本题型及其常用解题方法 §2. 1 二次型的标准形与规范性的计算 1、利用配方法 例5.6 用非退化线性替换化二次型为标准形、规范形. 2、利用正交变换法 例5.7（90，8分）求一个正交变换，化二次型 成标准形. 解 二次型的矩阵为 ，所以为的所有特征值； 对于特征值，解齐次线性方程组得对应的特征向量为： ； 对于特征