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第一讲:定义新运算
第二讲:巧算(一)(二)
第三讲:列方程解应用题
第四讲:几何图形的计算(一)(二)
第五讲:行程问题
第六讲:列车过桥问题
第七讲:流水行船问题
第八讲:观察与归纳(一)(二)
一、定义新运算
知识体系:
定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。
解答定义新运算的关键是正确理解新定义的算式含义,然后严格按新定义的计算程序,将数值代入,转化称化为常规的四则运算式进行计算。
新定义的算式中有括号的,要先算括号里面的,但它在没转化之前,是不适合于各种运算定律的。
典型例题:
例题一
规定α※b= ,则(6※4)※3等于多少?
分析:这道题的新运算被定义为:α※b等于 α与 b的和除以两数之差。这里的※就代表一种新运算。在定义新运算中,规定了要先算小括号里面的。因此,在(6※4)※3中,就要先算小括号里的6※4。
习题:
规定一种新运算:a※b=(b+a)×b,求(3※2)※4=
设a※b=(a+b)(a—b),求27※9
设a※b=a2+2b,求5※(2※8)
规定a▲b=a+2b,如5▲7=5+2×7=19
那么6▲(4▲9)是多少?
例二:
有一种关于◆和■的运算: 规定a◆b=a×b—a,
a■b=a÷b+a
求(6◆5)■4
分析:根据规定先算6◆5,这里的◆和■都是新的运算符号。
习题:
①定义a▲b=a×b—a, a■b=a÷b+b
求(6▲5)■4
②设P、Q是两个数,规定:P▲Q=P2+(P—Q)×2
求30▲(5▲3)
③设M、N是两个数,规定M※N= + .
求10※20— 。
例三:
如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222+2222,
3*3=3+33+333,4*2=4+44。
那么,7*4=___; 210*2=___
分析:经过观察,可以发现本题的新运算“*”被定义为a*b=a+ + + …… +
b个a
习题:
①如果1*5=1+11+111+1111+11111,2*4=2+22+222=2222,3*3=3+33+333,……那么4*4= 。
②规定a※b=a+ + +…… + ,那么8※5= 。
(b—1)个a
③如果2*1= ,3*2= ,4*3= ,那么(6*3)÷(2*6)= 。
④规定12=1+2,23=2+3+4,…,56=5+6+7+8+9+10,那么,在X3=54中,X= 。
例四:
设ab=4a—2b+ab÷2,求X(41)=34中的未知数X。
分析:先求出小括号中的41=4×4-2×1+4×1÷2=16.再根据X16=4X-2×16+X×16÷2=12X-32,然后解方程12X-32=34,求出X的值。
习题:
设ab=3a—2b,已知X·(41)=7,求X。
②对两个整数a和b定义新运算“▲”。
a▲b= ,求6▲4+9▲8
③对任意两个整数x和y定义新运算“*”:
X*Y= (其中m是一个确定的整数)。
如果1*2=1,那么3*12= 。
巧算(一)
知识体系:
根据算式的结构和数的特征,灵活地运用运算法则、定律、性质和公式,把一些较复杂的四则混算化繁为简,化难为易。巧算的基本方法有:凑整、分拆、约分、化简和替换法,
典型例题:
例一:199999+19999+1999+199+19
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=222215
习题:8+98+998+9998+99998
9+99+999+0.6
98.3-3.32-5.68+10.7
3-1+2-1.625
例二:1994×79+790×+244.9
分析:三个相加的算式通过变形,都可以得到共同的因数79,再利用乘法的分配率进行简算。
1994×79+790×+244.9
=1994.5×79+79×2.4+79×3.1
=(1994.5+2.4+3.1)×79
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