三角形全等之截长补短(整理)分解.doc

三角形全等之截长补短（讲义） 一、知识点睛 截长补短： 题目中出现__________________________时，考虑截长补短；截长补短的作用是____________________________________ ___________________________________________________．如图在△ABC中，∠1=∠2，∠B=2∠C求证：AC=AB+BD． 如图，在ABCD中，A=∠B=90°，ADC，CE平分∠BCD．求证：CD=AD+BC． 已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠B=∠D=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且EAF=45°，连接EF．求证：EF=+DE． 已知如图，△ABC中，∠ABC=60°，△ABCAD，CE交于点O． 求证AC=AE+CD． 已知如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，B平分∠ABC，CE⊥BDBD的延长线于E． 求证：CE?BD． 【参考答案】 【知识点睛】 把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系． 【精讲精练】 ：证明：如图，延长AB到E，使BEBD，连接E． ∵∠ABD是△BDE的一个外角ABD=∠E＋BDE ∵BE=BD ∴∠E=∠BDE ∴∠ABD=2∠E ∵∠ABD=2∠C ∴∠E=∠C 在△ADE和△ADC中 ∴△ADE≌△ADC（AAS）AE=AC ∴AC=AB＋B =AB＋BD　 ：证明：如图，在AC上截取AF=AB连接DF在△ABD和△AFD中 ∴△ABD≌△AFD（SAS）B=∠AFD，BD=FD ∵∠B=2∠C ∴∠AFD=2∠C ∵∠AFD是DFC的一个外角AFD=∠C +∠FDC ∴∠FDC=∠C ∴DF=FC ∴BD=FC ∴AC=AF+FC =AB+BD 证明：如图，在CD上截取CF=CB． ∵CE平分∠CBD ∴∠1=∠2 在△CFE和△CBE中 ∴△CFE≌△CBE（SAS）° ∴∠CFE=∠DFE =90° ∵∠A=90° ∴∠DFE=∠A ∵DE平分∠ADC ∴∠3=∠4 在△DEF和△DEA中 ∴△DEF≌△DEA（AAS） ∴DF=AD ∴CD=DF+CF =AD+BC 证明：如图，延长FB到G，使BG=DE，连接AGD=∠ABC=90° ∴∠ABG=∠D=90° 在△ABG和△ADE中 ∴△ABG≌△ADE（SAS）AG=AE，1=∠2 ∵∠BAD=90°，EAF=45° ∴∠2+∠3=45° ∴∠1+∠3=45° 即∠GAF=45° ∴∠GAF=∠EAF 在△AGF和△AEF中 ∴△AGF≌△AEF（SAS）GF=EF ∵GF=BF+BG ∴EF=BF+DE 证明：如图，在AC上截取AF=AE，连接OF∵AD，CE为△ABC的角平分线1=∠2，∠3=∠4 在△AEO和△AFO中 ∴△AEO≌△AFO（SAS） ∴∠5=∠6 ∵∠ABC=60° ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180??∠B =180??60? =120? ∴∠2+∠3=60? ∴∠AOC=180°?60? =120° ∴∠5=∠6=∠7=∠8=60° 在△OFC和△ODC中 ∴△OFC≌△ODC（ASA） ∴CF=CD ∴AC=AF+FC =AE+CD 证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点FCE⊥BD ∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90° ∴∠CAF=∠BAD=90° ∵∠3=∠4 ∴∠1=∠5 在△BAD和△CAF中 ∴△BAD≌△CAF（AS）BD=CF ∵BE平分ABC ∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中 ∴△BEF≌△BEC（AS）EF=EC ∴CE=CF ∴CE=BD 三角形全等之截长补短每日一题 （4月28日）在△ABC中，ADBC于D，B=2∠C．求证：CD=AB+BD． （4月29日）如图，在△ABC中，ABAC，1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB?ACPB?PC．已知如图，1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，A+∠C=180°．求证：BD=AB+C． （5月2日）如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意一点，AF平分DAE，连接EF．求证：AE=BE+F．