数值计算方法复习分解.doc

2016计算方法复习 务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容： 会高斯消去法；会矩阵三角分解法Lagrange, 会计算差商和Newton插值多项式和余项 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 会最小二乘法多项式拟合 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三） 例题 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。 为了提高数值计算精度, 当正数充分大时, 应将改写为 。 例3. 的相对误差约是的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性迭代收敛的加速方法埃特金加速收敛方法Steffensen斯特芬森迭代法1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) (B) (C) (D)迭代公式 解：在(A)中,=1.076 故迭代发散。应选择(A)。 可以验证在(B)，(C)， (D)中，((x)满足，迭代收敛。 2.用Newton法求方程在区间内的根, 要求。 解 此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设 则 ， Newton法迭代公式为 ， 取，得。 3．设可微，求方程根的Newton迭代格式为 4. 牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解. 5. 试确定常数使迭代公式 . 产生的序列{}收敛到，并使收敛阶尽量高. 解 因为迭代函数为，而.根据定理知，要使收敛阶尽量高，应有，，，由此三式即可得到所满足的三个方程为： ，，. 解之得，，且，故迭代公式是三阶收敛的. P25.例2-4 P30.例2-6 P33.例2-8 P35例2-10 P35.例2-11 P38.例2-13 P39.例2-14 P41.例2-16 P45.例2-18 P48.例2-20 第3章、线性代数方程组的数值解法 (一)考核知识点 高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法平方根法追赶法迭代法的基本概念雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法超松弛迭代法1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。 2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。 4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。 5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。 6.了解迭代法及其收敛性的概念。 7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。 （三）例题 1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱)求解线性方程组 Gauss消去法， 回代 x3=3, x2=2, x1=1 2) 直接三角分解法(杜利脱)： =LU 解Ly=b得y=(14,-10,-72)T 解，Ux=y得x=(1,2,3)T 2. 用平方根法（Cholesky分解）求解方程组： 解：由系数矩阵的对称正定性，可令，其中L为下三角阵。 求解可得， 求解可得 3.讨论的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性 其中， 解：Jacobi迭代法的迭代矩阵 则 Jacobi迭代收敛 Gauss-Seidel迭代矩阵 Gauss-Seidel迭代发散. 4.已知方程组，其中 ， (1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式； (2)讨论上述两种迭代法的收敛性。 解：（1）Jacobi迭代法： Jacobi迭代矩阵： 收敛性不能确定