数学问题之水管问题分解.doc

水管问题 　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 　　例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？ 　　 　　甲每分钟注入水量是 　　乙每分钟注入水量是 　　因此水池容积是 　　答：水池容积是27立方米. 　　例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在 　　按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？ 　 　 　 　 　　答：开始时打开6根水管. 　　例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要 　　、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？ 　 　　 　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出. 　　 　　 　　以后（20小时），池中的水已有 　 　　 　　 　　此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 　　看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口. 　　因此，答案是28小时，而不是30小时. 　　例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？ 　　解：先计算1个水龙头每分钟放出水量. 　　2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 　　4 × 60= 240（立方米）. 　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）， 　　8个水龙头1个半小时放出的水量是 　　8 × 8 × 90， 　　其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）. 　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要 　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）. 　　答：打开13个龙头，放空水池要54分钟. 　　水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 　　例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 　　解：设满水池的水量为1. 　　A管每小时排出 　　A管4小时排出 　 　　　 　　因此，B，C两管齐开，每小时排水量是 　　B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 　　答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完. 　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24. 　　17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的. 　　例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一 　　草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 　　解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位. 　 　 　　原有草+4星期新长的草=12×4. 　　原有草+9星期新长的草=7×9. 　　由此可得出，每星期新长的草是 　　（7×9-12×4）÷（9-4）=3. 　　那么原有草是 　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）. 　　对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 　　这些草能让 　　90×7.2÷18=36（头） 　　牛吃18个星期. 　　答：36头牛18个星期能吃完第