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例说用物理方法解决数学问题 　　江湖俚语称“烟酒不分家”，高中教学则有“数理不分家”.确实，解决物理问题与数学手段的关系最密切，没有数学基础，物理是不能学好的；但人们不能忽视，物理之与数学，同样有着重要的“反作用力”，这里例说几个，请大家欣赏鉴定并批评指正，共同探讨数理交融教学的得失. 　　利用重心概念证明三角形的三条中线必定相交于一点： 　　模型为一块均匀三角形薄板，把它平行于一边分割成无数条等间隔条子，则每小条可以看作一条“线段”，它的的重心在它的中点；因为这些“线段”是按相同比例 毗邻递进的，所以把这些点连起来应该是一条直线，它就是三角形△ABC中BC边上的一条中线AD，显然三角形总的重心必定在这条中线上；另两条边作类似处理，则三角形的重心也应该在那两条中线上；而三角形的重心只有一个，所以三角形的三条中线必相交于一点，且这一点就是它的重心. 　　利用光程最短原理确定路径： 　　如图2，右方块代表沙漠地，左方块是草地，AC是分界线；车在绿地中速度可达5 m/s，沙地中是3 m/s；从分界线上A点出发，要去沙地中的B处，且B到分界线的垂直距离BC=400 m，而AC=1000 m，要用最短的时间到达目的地，请问行进路线如何设计？最短的时间是多少？ 　　考虑总的路程要少一点，显然直接到C点再转向B是不合算的，应该从AC之间的某点折向B；且因绿地中的车速大一点，所以要尽可能在AC上多跑一点；故设在D点转弯，并设AD=x；可立得关于用时的函数关系式： 　　t=x5+（1000-x）2+1600003. 　　如何求此函数的极小值？兴趣小组的同学认为可以先求导而解决，但求导法对绝大多数的学生是不现实的；另有一同学建议极好：利用Excel强大的计算功能，先输入函数式，再逐个输入x的猜想值，可以无限逼近而找出相应的x和t值，甚至直接利用计算器也行，只是多花一点时间. 　　可不可以更简便一点呢？提示他们试用物理方法后，他们也很快找到了解决的办法： 　　利用光路可逆和光程最短原理，沙地和绿地相当于两种介质，相对折射率为5/3，从沙地向绿地的“全反射临界角”sinC=1/n=3/5，C=37°；这样很容易定出车在沙地中要跑500 m，在边界绿地上要跑700 m，所用的最短时间为 　　tmin=（7005+5003） s， 　　比直接用数学求极值法要简单多了，而且可以避开导数这一高中数学瓶颈. 　　你如果有兴趣，完全可以把这种特殊情况向一般性的现实推进：左侧草地上的车速可达v1，右侧沙地上可达v2；出发点A，目的地B，A到边界的距离为AE=d1，B到边界的距离为BC=d2，CE=L，如图3所示. 　　利用光程最短原理，设D为最佳拐点、DE=x，用光的折射定律就可以求出x的值并继而确定最少的过程时间. 　　求抛物线上任一点的切线方程和曲率半径： 　　已知抛物线的方程为y=ax2（其它的可以通过平移、旋转转化至此形式），求某点P（x1，y1）的切线方程和曲率半径. 　　构建合适物理模型：如图4，一个质量为m的小球从O点以水平初速度v0作平抛运动，到达抛物线轨迹上的P点，瞬时速度v是抛物线在该点的切线. 　　利用平抛物体运动的规律，我们极容易地证明此时速度的反向延长线必交x轴于（x1/2，0）处，所以作这条切线也就十分明确，它的方程可以用两点式写出： 　　y-y1x-x1=y1-0x1-x1/2； 　　那么作它的垂线并求其方程自然也就没有问题了，可见曲率圆的圆心就在这条垂线上；再据图可求得 　　sinθ=x1/2x21/4+y21=11+4a2x21（1） 　　从平抛规律可有，x1=v0t，y1=12gt2且y=ax21， 　　由此可以得到 v20=g/2a（2） 　　根据曲率圆上向心力的提供法可得 　　mgsinθ=mv2/r（3） 　　从抛出点到P点符合机械能守恒，简写作 　　v2=v20+2gy1=v20+2gax21（4） 　　联解（1）、（2）、（3）、（4）可得曲率半径的大小为 　　r=（1+4a2x21）3/22a. 　　为了放心，我们再用数学方法加以验证：对y=ax2求一阶、二阶导数y′=2ax，y″=2a， 　　其曲率半径公式r=|（1+y′2）3/2y″|=（1+4a2x21）3/22a， 　　说明物理方法可靠无误. 　　利用开普勒定律推导椭圆面积公式 　　高中数学不能推导椭圆的面积公式，我们可以用物理方法试一试. 　　构建合适的物理模型为行星绕太阳公转如图5，太阳处在焦点F1，设定太阳的质量为M，行星的质量为m，近日点的速度为v1，远地点为v2，近地点和远地点的曲率半径均为r，则根据机械能守恒可得 　　12mv21-GMma-c=12mv22-GMma