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儿童心目中的雪花分布 　　【摘 要】以401名9～14岁儿童为被试对象，考察其心目中的雪花分布，结果发现：儿童描述的雪花分布不外乎随机与不随机两类；给出的理由可以分为4类，分别为运用模糊的概率知识、主观判断、动手试验与其他。进一步分析表明，给出“主观判断”理由的儿童比给出“运用模糊的概率知识”理由的儿童，描述出的雪花分布更高的比例是随机的；动手试验得到的雪花分布均是随机的。原因在于大部分儿童将“多次试验结果的规律性”与“一次试验结果的随机性”混淆了。动手试验是认知随机性的有效方式。 　　【关键词】儿童 雪花分布 随机性 教学建议 　　一、引言 　　概率认知的一个重要方面，是对随机性的认知。按照认知的复杂程度，我们把随机性分为三类：随机事件，如抛一枚硬币，朝上一面的情形，可能正面朝上，也可能反面朝上；独立序列，如连续抛一枚硬币10次，朝上一面的情形，可能是3次正面朝上7次反面朝上，也可能5次正面朝上5次反面朝上；雪花分布，如16片雪花随机飘落到由16块方砖构成的平坦房顶上，雪花分布的情形，可能16片雪花飘落到7块方砖上，也可能飘落到12块方砖上。 　　严加安院士说：“随机非随意，概率破玄机。无序隐有序，统计解迷离。”[1]随机性中隐藏着规律性，对随机性的认知，本质上就是对规律性的认知。然而，要认识到这种规律性，还是比较困难的。因为，虽然日常生活中随机事件随处可见，非正式的概率知识有着较好的现实基础，但随机性规律与我们日常所学习的数学规律还是有着较大的区别的，学习随机性的思维方式与学习确定性数学的思维方式也还是有着较大区别的。比如，Green等人的研究表明，学校确定性数学――科学演绎推理模式主导的课程扼杀了学生对于随机性的认知[2]。 　　义务教育阶段数学课程所涉及的主要是随机事件，这是对随机性最初步的认知。相应地，对随机事件的研究也比较多。有的数学教材中也出现了独立序列[3]，虽然这样的内容并不是课程标准所规定的。义务教育阶段数学教材中没有出现雪花分布这样的内容，因而很少有人关注或研究儿童对雪花分布的认知。 　　我们采用分层取样的方式，选取浙江省S市城区、城乡接合地区2个类型学校9～14岁的401名儿童作为被试对象（我们的研究表明，城市、城乡接合部、农村儿童之间的概率认知没有显著性差异，所以样本具有代表性），通过以下调查题目，了解儿童心目中的雪花分布。 　　题目：如图所示，花园房顶是平的，由16块尺寸相等的方砖构成。开始下雪了，过了一会，16片雪花飘落到房顶。请标出16片雪花可能落在什么地方（用×表示一片雪花），并写一写你的理由。 　　学生基于已有的生活经验与概率知识，给出了雪花在房顶的分布。这些雪花分布，哪些是随机的？哪些是不随机的？判断的标准是什么？我们可以从生活经验与概率知识两个方面来回答这些问题。 　　生活经验告诉我们（这里的我们是指成年人了），16片雪花都飘落到一块方砖上的可能性比较小，除非出现了人为的情形，比如，你用扫帚把这些雪花扫到了一起；同样地，16片雪花均匀地落到每一块方砖上的可能性也比较小。这是两种极端的情形。排除掉这两种极端的情形，生活经验告诉我们，16片雪花所占的方砖数应该不多也不少，才可能是没有受到人为干涉，才可能是随机的。到底什么才是“不多也不少”呢？就是极端的情形不能够出现，用概率的知识来说，就是“小概率事件在一次试验中是不可能发生的”。比如，某厂家生产的灯泡合格率是90%。今天，我们接到了一批产品，理论上而言，这批产品的合格率应该是90%。这批产品的合格率是否达到了呢？我们从中随机抽取100只，发现有30只不合格。我们很容易计算出，30只灯泡不合格的可能性是1.84×10-8――这是小概率事件。所谓小概率事件，是我们根据实际需要来确定的，有时候规定，可能性小于等于0.05的事件就是小概率事件；有时候规定，可能性小于等于0.01的事件才是小概率事件。如果这批产品是合格的，小概率事件是不可能发生的；既然发生了（这是事实），我们只好说，这批产品不合格。当然，这样去做判断，也可能会犯错误，但是，我们可以把出错的可能性控制在一个可以接受的范围内。什么是雪花分布的“小概率事件”呢？根据概率的相关公式，我们可以计算出，雪花所占的方砖数在7～13范围内的概率为95%，而小于7或大于13的概率只有5%左右。因此，“雪花所占的方砖数小于7或大于13”就是小概率事件。在学生给出的雪花分布中，如果雪花所占的方砖数在7～13的范围内，我们初步判定雪花分布是随机的；否则，判定雪花分布不是随机的。 　　进一步对初步判定为随机的雪花分布进行继续考察，如果这些雪花分布具有明显的规律性（如严格关于中轴线对称等），则判定为不具有随机性。比如，以下回答就不具有随机性。 　　如果学生在图中标出的雪花数超过或