《概率论与数理统计》课程教学大纲.docVIP

案例1.桌椅放置问题 正方形椅子能在不平的地面放稳吗？ 这个问题来源于日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给以表述，并可用数学工具给予证明。 模型假设 对椅子和地面应该做一些必要的假设： 1．椅子四条腿一的样长，椅脚与地面 接触可视为一个点，四脚连线呈正方形。 2．地面的起伏是连续变化的。 3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面 是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。 假设1显然是合理的。假设2相当于给出椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。至于假设3是要排除这样的情况：地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），致使三只脚无法同时着地。 建立模型 中心问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论表示出来。 首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形饶中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图1中椅脚连线为正方形ABCD，对角线AC与x轴重合，椅子饶中心点O旋转角度后，正方形ABCD转至的位置，所以对角线AC与x轴的夹角表示了椅子的位置。 其次要把椅脚着地用数学符号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么当这个距离为零时就是椅脚着地了。椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数。 可设椅脚A、B、C、D在位置时对地面的距离分别用来表示。那么，令为A,C两脚与地面距离之和，为B,D两脚与地面距离之和（）。由假设2，.由假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的，中至少有一个为零。当时不妨设。这样，改变椅子的位置使四只脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题： 已知是的连续函数，对任意，，。证明存在，使。 模型求解 上述命题有多种证明方法，这里介绍其中比较简单。 将椅子旋转（），对角线AC与BD互换。由可知 令，则由也是连续函数。根据连续函数的基本性质，必存在即。 最后，因为所以。 由于这个实际问题非常直观和简单，模型解释和验证就略去了。 评注 这个模型的巧妙之处在于用一元变量表示椅子的位置，用的两个函数表示椅子四角与地面的距离，进而把模型假设和椅角同时着地的结论用简单、精确的数学语言表达出来，够成了这个实际问题数学模型。 案例2. 渡河问题 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。但是如何 乘船渡河的大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河呢？ 对于这类智力游戏经过一番逻辑思索是可以找出解决办法的。这里是用数学模型求解，一是为了给出建模的实力，二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题，比逻辑思索的结果容易推广。 由于这个虚拟的问题已经理想化了，所以不必再作假设。安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步，即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶向此岸，都要对船上的人员（商人、随从各几个）作出决策，在保证安全的前提下(两岸的随从数都不必商人数多)，在有限步内使全部人员过河。用状态（变量）表示某一岸的人员状态，决策（变量）表示船上人员的状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在状态允许的变化范围内（即安全渡河条件），确定每一步的决策，达到渡河的目的。 数学模型 记第次渡河次岸前的商人数为，随从数为，k=1,2,3,…, 。将二维向量定义为状态。安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合，记作S （1） 不难验证，S对此岸和彼岸都是安全的。 记第次渡船上的商人数为，随从数为。将二维向量定义为决策。允许决策集合记作D,有小船的容量可知 （2） 因为为奇数时船从此岸驶向彼岸，为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以状态随决策变化的规律是 （3） (3)式称状态转移律。这样，制定安全渡河方案归结为如下的多步决策模型： 求决策，使状态按照转移律（3），由初始状态经有限步n到达状态。 模型求解 根据（1）～（3）式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的。不过对于商人和随从人数不大的简单状况，用图解法解这个模型更为方便。 在平面坐标系上画出图2那样的方格，方格点表示状态。允许状态集合S是用圆点标出的10个格子点，允许决策是沿方格线移动1格或2格，为奇数时向左、下方移动，为偶数时向右、上方移动。要确定一系列的使由经过那些圆点最终移至原点。 图2给出了一种移动方案，经过