江苏省江阴市山观高级中学高三数学一轮复习不等式教学案：第4课时不等式证明2.docVIP

第4课时 不等式证明（二） 证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等． 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法． 换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法． 放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法． 判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立． 例1. 已知f(x)＝x2＋px＋q， (1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于． 证明: (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2 (2)用反证法。假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于，则｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜＜2，而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，出现矛盾. ∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于. 变式训练1：设，那么三个数、、 （ ） A．都不大于2 B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 解:D 例2. （1） 已知x2＋y2＝1，求证:. （2） 已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:. 证明:(1)设 ∴ (其中) ∵ ∴ (2)令(其中k2≤1), 则 ≤ 故原不等式成立. 变式训练2： 设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解:A 例3. 若，求证： 证明：当时 即 故原不等式成立． 变式训练3：若f(n)＝－n，g(n)＝n－，(n)＝，则f (n)，g (n)，(n)的大小顺序为____________． 解:g(n)φ(n)f(n) 例4. 证明：． 证明：设，则(1－y)x2＋x＋1－y＝0 (1)当y≠1时，∵x∈R，∴△＝1－4(1－y)2≥0 得 (2)当y＝1时，由(1－y)x2＋x＋1－y＝0得x＝0 而x＝0是函数的定义域中的一个值； ∴y＝1是它值域中的一个值. 综合(1)和(2)可知，， 即． 变式训练4：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点． (1) 求证： (2) 求证：对于一切实数恒有 证明：(1)由ax2＋(b－1)x＋c＝0无实根，得Δ1＝(b－1)2－4ac0 由ax2＋(b＋1)x＋c＝0无实根 得Δ2＝(b＋1)2－4ac0 两式相加得：4ac－b21 (2)∵4ac－b210，∴a(x＋)与同号， ∴｜ax＋bx＋c｜＝｜ a(x＋)2＋｜ ＝｜a｜(x＋)＋≥ 1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法． 2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性． 3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等． 4．含有字母的不等式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制． 典型例题 归纳小结