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* Advanced Mathematics 高 等 数 学 主讲教师: 数学系 管 平 教授 2004.9. 绪论（Introduction） 一、数学的内容与特点 1．数学的内容 初等数学 （Elementary Mathematics） 初等几何：研究空间形式（elementary geometry） 初等代数：研究数量关系 （elementary algebra） 高等数学 （Advanced Math） 解析几何： 用代数方法研究几何 （analytic geometry） 线性代数： 研究方程式的求解等问题 （linear algebra） 微积分：研究变速运动及曲边形的 （calculus） 求积问题延伸到微分方程等 概率论与数理统计：研究随机现象， （probability 依据数据进行推理 mathematical statistics） 决策与运筹学：研究复杂系统的运 （decision 行、组织、管理等 operational research） 2．数学的特点 （1）抽象性 ◆ 数学的抽象只保留量的关系和空间的形式 而舍弃其它； ◆ 数学的抽象所达到的程度大大超过其它科学 中的抽象； ◆ 数学的抽象不仅表现在它的概念是抽象的、 思辨的，而且数学方法也是抽象的、思辨的， 即数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的 相互关系的圈子中。 （2）精确性 ◆ 表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严密 性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。 数学的这个特点要求我们在学习数学时， 不仅要做习题，掌握解题方法，而且要重视 和学会证明结论的思想和技巧。 （3）应用的广泛性 ◆ Kepler行星运动法则，万有引力定律等(Newton) ◆ Riemann几何 广义相对论 (Einstein) ◆ 群论 能量守恒、动量守恒、自旋守恒、 电荷守恒等定律的统一 (物理学家) ◆ 华罗庚：宇宙之大，粒子之微， 火箭之速，化工之巧，地球之变， 生物之谜，日用之繁，数学无所 不在。凡是出现“量”的地方就少不了用数学。 ◆ 社会科学、经济 金融数学 ◆ 电磁波理论 Maxwell Eqs ◆ 流体力学 Navier-Stokers Eq ◆ 电子计算机 数理逻辑、量子力学 ◆ 现代科技诸方面 微积分 ◆ 人体器官的三维图像(CT)、数字压缩技术 调和分析，积分变换 二、数学的神奇魅力 1．诱人的猜想（conjecture） （1）Goldbach猜想： 1742.6.7. 任何大于等于6的偶数可表为 两个奇素数之和。（1+1） 1973 陈景润：1+2 （2）Fermat 猜想 17世纪末： 是素数 18世纪已被Euler否定： 不是素数 费尔马(P.d.Fermat 1601~1665) 欧拉(L.Euler 1707~1783) 2．神奇的预言 （1）海王星的发现 1844—1845，Adms(英)和Leverrier(法) 推算出天王星附近还应有一颗行星存在， 并给出了运动规律和位置。 一年后观测得到证实。 （2）“正电子”的存在 1928年 Dirac(英)计算预言 1932年 Anderson证实 Anderson 获1936年Nobel奖。 3．美妙的和谐 （1）黄金分割 （2）无理数的表示 4．惊人的简洁 （1）数学问题的简洁 三大尺规问题 Goldbach猜想 Euler解决：抽象 图论（Graph Theory） 七桥问题 1 2 3 4 5 6 7 ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 7 （2）数学语言的简洁 勾股定理： Euler公式： Einstein公式： （3）数学概念的简洁 （4）数学证明的简洁 三、如何学习高等数学 1．文科生为什么要学高等数学？ 数学是一种语言，一切科学的共同语言 —— 严密性、精确性 数学是一把钥匙，一把打开科学大门的钥匙