高等数学10-1.ppt

第一节 一、引例 二、二重积分的定义及可积性 三、二重积分的性质 *例3. 估计积分之值 例5. 判断积分 思考与练习 2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 1. 证明: 作 业 P136. 4(1)(4)，5(2)(4) 例4. 判断 的正负. 解：当 时， 故 又当 时， 于是 的正负号.（略） 解: 分积分域为 则 原式 = 猜想结果为负 但不好估计 . 舍去此项 由二重积分的性质 更确切的 例6：比较重积分的大小 解 0 y x 1 1 2 x + y =1 x + y 1 例7 比较积分 与 解: 的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0), (1,1), (2,0). 三角形斜边方程 在D内有 故 因此 D 解 （1）先画出积分区域的图形 x y 1 -1 1 O D 0 x y -1 1 1 0 内容小结 1. 二重积分的定义 2. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） 二重积分的物理意义 （平面薄板的质量） 被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知 1. 比较下列积分值的大小关系: 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 其中D 为 解: 利用题中 x , y 位置的对称性, 有 又 D 的面积为 1 , 故结论成立 . 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． * up down 数学能从多方面锻炼人的思维，然而，被动地听讲和单纯地机械性的操作，思维是得不到锻炼的。只有在数学活动中积极地、主动地思维，思维才能得到锻炼。 《数学的艺术》欧阳绛 严格性对于数学家， 就如道德之对于人。 韦伊（法国数学家） 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 第十章 重 积 分 （按积分区域分类） 积分区域 积分区域 定积分 二重积分 三重积分 D 曲线积分 曲面积分 一型：对弧长 二型：对坐标 一型：对面积 二型：对坐标 Stokes 公式 高斯公式 格林公式 ? 1. 多元函数积分学概况 推 广 推 广 推 广 推 广 三、二重积分的性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 二重积分的概念与性质 曲顶柱体体积=？ 特点：曲顶. 1．曲顶柱体的体积 柱体体积= 底面积× 高 特点：平顶. 直柱体的体积 =底面积×高 这里我们又面临着与 求曲边梯形面积类似 高度的不变与变的矛盾 的矛盾： 因此用与求曲边梯形面积类似的方法： 分割、 近似、 求和、 取极限 播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、求和、取极限”的方法，如下动画演示． x 0 z y D S S : z = f (x,y) 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 2 以平代曲 曲顶柱体的体积 ??i x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 曲顶柱体的体积 . ??i x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细 ??i 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 曲顶柱体的体积 . V = x 0 z y D S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 曲顶柱体的体积 . V = x 0 z y S : z = f (x,y) 3 积零为整 4 取极限 令分法无限变细 V 2 以平代曲 元素法 1 任意分割区域 D,化整为零 . 曲顶柱体的体积 . V = 分割： 把 D 任意的分成 n 个可求面积的小区域 用 表示小区域的面积 以每个小区域 准线，作母线平行于 z 轴的 的边界为 柱面，把曲顶柱体分割成 n 近似： 个小曲顶柱体 求和： 取极限 2. 求平面薄片的质量 均匀薄片