高等数学5-1.ppt

一、问题的提出 二、定积分的定义 三、函数的可积性 四、定积分的几何意义 五、定积分的性质 小 结 由积分中值公式， 称为 f(x) 在[a, b]上的平均值. 积分中值定理应用广泛，在证明根的存在性、不等式、求极限等都有应用，有时又要和微分中的 定理、性质结合使用. 例8 （注：用定积分定义，只能证明 ） 证 由积分中值定理， 注：此结论，以后可直接应用. 解 由积分中值定理知有 使 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 3．定积分的性质 （注意估值性质、积分中值定理的应用） 4．典型问题 （１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小． 思考题 思考题解答 例 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． * a b x y o 实例1 求曲边梯形的面积. 第五章 定积分 §1. 定积分的概念与性质 困难在于高 f(x)是变化的， 如果高不变， 则是矩形. a b x y o h a b x y o a b x y o 问题：可否用矩形面积近似代替曲边梯形面积？ 显然，小矩形越多，矩形面积之和越接近曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形） 矩形面积 = 高×底 = h×(b－a) 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 曲边梯形如图所示， （1）分割 （2）近似代替 曲边梯形面积的近似值为 得曲边梯形面积为： （3）求和 （4）取极限 实例2 求变速直线运动的路程 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （3）求和 （4）取极限 路程 （2）近似代替 面积 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 只要 注意： 充分条件： 定理2 必要条件： 定理1 定理3 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 a b x y o 2 y=x x y O x y O 例2： 将和式极限： 表示成定积分. 解：原式 例3 证明： 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小． 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 证 性质2 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 证 性质4 性质5 性质5的推论： 证 （1） 解 于是 证 性质5的推论： （2） 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 解 解 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释：