高等数学1-3 函数的极限.pptVIP

函数的极限 一、函数极限的定义 例2 证明 例2 证明 例2 证明 例5 证明 上页 下页 铃 结束 返回 首页 二、函数极限的性质 一、函数极限的定义 如果当x无限地接近于x0时? 函数f(x)的值无限地接近于常数A? 则常数A就叫做函数f(x)当x?x0时的极限? 记作 函数极限的通俗定义 1.自变量趋于有限值时函数的极限 分析: 当x?x0时? f(x)?A? ?当|x-x0|?0时? |f(x)-A|?0? ?当|x-x0|变得足够小时? |f(x)-A|能小于任意给定的正数e? 注: 当x?x0时? x?x0 . 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义? 如果存在常数A? 对于任意给定的正数?? 总存在正数?? 使得当x满足不等式0|x?x0|?? 时? 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)?A|?? ? 那么常数A就叫做函数f(x)当x?x0时的极限? 记为 函数极限的精确定义 当x?x0时? f(x)?A? ?当|x-x0|?0时? |f(x)-A|?0? ?当|x-x0|变得足够小时? |f(x)-A|能小于任意给定的正数e? 注: 当x?x0时? x?x0 . 定义的简记形式 ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时? 有|f(x)-A|e? 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义? 如果存在常数A? 对于任意给定的正数?? 总存在正数?? 使得当x满足不等式0|x?x0|?? 时? 对应的函数值f(x)都满足不等式 |f(x)?A|?? ? 那么常数A就叫做函数f(x)当x?x0时的极限? 记为 函数极限的精确定义 注: d 与 e 有关, 但不唯一. 确定 d 时, d 越小越合适. 分析? |f(x)?A|?|(2x?1)?1|?2|x?1|? 例1 因为?? ?0? 证明 |f(x)?A|?|(2x?1)?1|?2|x?1|?e ? ?e 0? 当0?|x?1|?? 时? 有 ???? /2? 只要|x?1|e /2? 要使|f(x)?A|e? ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时, |f(x)-A|e? 注: d 与 e 有关, 但不唯一. 确定 d 时, d 越小越合适. 注: d 与 e 有关, 但不唯一. 确定 d 时, d 越小越合适. 分析: 当 0|x-1|d 时? 即 包含于 的解集内. ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时, |f(x)-A|e? 也即 可以判断 因此 证明 注: d 与 e 有关, 但不唯一. 确定 d 时, d 越小越合适. 分析: 当 0|x-1|d 时? ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时, |f(x)-A|e? 有 取 当 时, 因此 的正根为 另证 ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时, |f(x)-A|e? 注: d 与 e 有关, 但不唯一. 确定 d 时, d 越小越合适. 有 因此 因 可设 即 要 只要 取 当 时, 注: 单侧极限 若当x?x0-时? f(x)无限接近于某常数A? 则常数A叫做函数f(x)当x?x0时的左极限? 记为 或f(x0?)=A . x?x0?表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0 , x?x0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0 . ??e ?0? ?d ?0? 当x0?d?x?x0? 有|f(x)?A|e ? 精确定义 ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时, |f(x)-A|e? 单侧极限 ??e ?0? ?d ?0? 当x0?d?x?x0? 有|f(x)?A|e ? 类似地可定义右极限. 结论 精确定义 若当x?x0-时? f(x)无限接近于某常数A? 则常数A叫做函数f(x)当x?x0时的左极限? 记为 或f(x0?)=A . ??e 0? ?d 0? 当0|x-x0|d 时, |f(x)-A|e? 这是因为 例3 函数 当x?0时的极限不存在? 类似地可定义 如果当|x|无限增大时? f(x)无限接近于某一常数A? 则常数A叫做函数f(x)当x??时的极限? 记为 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 ??? ?0? ?M?0? 当|x|?M时? 有|f(x)?A|?? ? 精确定义 结论 例4 证明