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高等数学电子教案 武汉科技学院数理系 第七节 周期为2L的周期函数的傅立叶级数 定理:设周期为2L的周期函数f(x)满足收敛定理的条件,则 它的傅立叶级数展开式为: 当f(x)为奇函数时: 其中系数bn为: 当f(x)为偶函数时: 其中系数an为: 证明说明: 例1 设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上表达式为: f(x)= 0, -2≤x0 k. 0≤x2 (常数k≠0),把f(x)展开成傅立叶级数. 解: 此时L=2 = 0 x y k 2 -2 其图形如下 一 定义在区间[-L,L]上函数的傅里叶级数展开 把函数f(x)展开为傅里叶级数的步骤是: 1.确定函数f(x)的周期2L,以及它在[-L,L]上的奇偶性, 或者根据题意确定对[0,L]上函数f(x)进行奇延拓还是 偶延拓. 2.选定相应公式准确计算f(x)的傅里叶系数an,n=0,1,2,…. 与bn,n=1,2,…并写出相应的傅里叶级数. 3.根据狄里克雷定理写出所得到的傅里叶级数的和函 数S(x). 给定函数的傅里叶级数展开应注意如下几点: (1)准确确定函数f(x)的周期,与判断它的奇偶性, 对于傅里叶级数的计算是很重要的. 由定积分性质可知,若f(x)在[-L,L]上是奇函数 或偶函数,则计算傅里叶系数就简单些.它只是正 弦级数,或者是余弦级数. 如果函数f(x)在[-L,L]上没有奇,偶性特性,则可经过 (2)准确掌握函数f(x)的傅里叶系数和傅里叶级数的 坐标变换由函数f(x)构造一个奇函数或偶函数F(x), 然后把F(x)展开为正弦级数或余弦级数,再经过逆 变换得到原来函数f(x)的傅里叶级数. 公式 设函数f(x)在[-L,L]上可积,则f(x)的傅里叶系数 以这些系数组成的函数f(x)的傅里叶级数为 对于以2L为周期的函数g(x),由定积分的周期性性 常常把以2L为周期的周期函数f(x)的傅里叶系数 质可知,不论a是什么值,都有 中积分化为从0到2L的积分.这样使积分简单. (3)不要把函数f(x)的傅里叶级数的和函数S(x)与f(x) x为f(x)的连续点 x为f(x)的第一类间断点 x为区间的边界点 本身相混同. 当函数f(x)在区间[-L,L]上满足狄里克雷定理条件 时,它的傅里叶级数必定收敛,且其和函数S(x) 因为傅里叶级数通项的周期性,所以傅里叶级数必 能以2L为周期延拓到[-L,L]之外,使其对任何实数x 都收敛,因此它的和函数S(x)也是定义在实数轴上 以2L为周期的函数,即S(x+2L)=S(x).如果f(x)是定 义在[-L,L]上,则[-L,L]之外的f(x)的傅里叶级数的 和函数S(x)与函数f(x)无关. (4)利用给定函数f(x)的傅里叶级数展开式可以求某些数项 例 级数的和值.在某个傅里叶级数等于其和函数的等式中,令 变量x取某个特定值,即得到所求数项级数的和值 在求傅里叶系数an,bn时,发现在n=1时没有意义,故要 再单独计算. 二 定义在区间[0,L]上函数的傅里叶级数展开 定义在区间[0,L]上函数f(x)的傅里叶级数展开,通常有以 下几种情况: (1)把f(x)在[0,L]上展开成正弦级数. 这时,要把f(x) x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个奇函 数F(x),把该奇函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数, 然后限制在[0,L]上. 即为所求的正弦级数. (2)把f(x)在[0,L]上展开成余弦级数. 这时,应把f(x), x∈[0,L],奇延拓到[-L,0]上,在[-L,L]上构造一个偶函数 F(x), 在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后限制在[0,L]上. 即为所求的余弦级数. (3)把f(x)在(0,L)内展开为以周期为2L的傅里叶级数. 这时,在区间[-L,L]上构造一函数F(x),使它在[0,L]上 F(x)=f(x),在[-L,0)上可以定义F(x)为任意函数,特别定义 F(x)=0,即 当然,也可定义 把扩充后的函数F(x)在[-L,L]上展开为傅里叶级数,然后 限制在(0,L)上即为所求的傅里叶级数,往往它既含有正 弦项,又含有余弦项. (4)把f(x)在[0,L]上展开为以L为周期的傅里叶级数. 它与前三项工作不同的是:前面的函数展开工作是以2L 为周期; 这里以L为周期,且所得到的傅里叶级数既含有 正弦项,又含有余弦项. 本项工作只要注意到f(x)的以L 为周期的周期性,便得到相应的傅里叶系数公式为 例2 把图所示的函数展开成正弦级数 y(x)是定义在[0,L]上的函数,要把它展开成 正弦级数,必须对