《新步步高》高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义文档：第一章1.2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含答案.docVIP

1.四种命题及相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果pq，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； (2)如果pq，但q? p，则p是q的充分不必要条件； (3)如果pq，且qp，则p是q的充要条件； (4)如果qp，且p? q，则p是q的必要不充分条件； (5)如果p? q，且q? p，则p是q的既不充分又不必要条件. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－30”是命题.(　×　) (2)命题“α＝，则tan α＝1”的否命题是“若α＝，则tan α≠1”.(　×　) (3)若一个命题是真命题，则其逆否命题是真命题.(　√　) (4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　√　) (5)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立.(　√　) (6)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件.(　√　) 1.(教材改编)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是(　　) A.“若xy，则x2y2” B.“若x≤y，则x2≤y2” C.“若xy，则x2y2” D.“若x≥y，则x2≥y2” 答案　B 解析　根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”. 2.已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为(　　) A.0 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　向量a，b共线x－x(x＋2)＝0x＝0或x＝－1， ∴命题p为真，其逆命题为假， 故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2. 3.(2015·重庆)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的(　　) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案　B 解析　x＞1x＋2＞3(x＋2)＜0，(x＋2)＜0x＋2＞1x＞－1，故“x＞1”是“(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B. 4.已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“AB”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　a＝3时，A＝{1,3}，显然AB. 但AB时，a＝2或3.所以A正确. 5.(教材改编)下列命题： ①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件； ②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件； ③sin α＝sin β是α＝β的充要条件； ④ab≠0是a≠0的充分不必要条件. 其中为真命题的是________(填序号). 答案　②④ 题型一　命题及其关系 例1　(1)命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数“的逆否命题是(　　) A.若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 B.若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 C.若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 D.若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 (2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(　　) A.真，假，真 B.假，假，真 C.真，真，假 D.假，假，假 答案　(1)C　(2)B 解析　(1)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”. (2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi，则|z1|＝|z2|＝， ∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假，故选B. 思维升华　(1)写一个命题的其他三种命题时，需注意： ①对于不是“若p，则q“形式的命题，需先改写； ②若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假. 　(1)命题“若α＝，则cos α＝”的逆命题是(　　) A.若α＝，则cos α≠ B.若α≠，则cos α≠ C.若cos α＝，则α＝ D.若cos α≠，则α≠ (2)已