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《新步步高》高考数学(理)(北师大版)大一轮复习讲义文档:第一章1.2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含答案
1.四种命题及相互关系
2.四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.
3.充分条件与必要条件
(1)如果pq,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件;
(2)如果pq,但q? p,则p是q的充分不必要条件;
(3)如果pq,且qp,则p是q的充要条件;
(4)如果qp,且p? q,则p是q的必要不充分条件;
(5)如果p? q,且q? p,则p是q的既不充分又不必要条件.
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)“x2+2x-30”是命题.( × )
(2)命题“α=,则tan α=1”的否命题是“若α=,则tan α≠1”.( × )
(3)若一个命题是真命题,则其逆否命题是真命题.( √ )
(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ )
(5)当p是q的充要条件时,也可说成q成立当且仅当p成立.( √ )
(6)若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ )
1.(教材改编)命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是( )
A.“若xy,则x2y2” B.“若x≤y,则x2≤y2”
C.“若xy,则x2y2” D.“若x≥y,则x2≥y2”
答案 B
解析 根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系,得命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是“若x≤y,则x2≤y2”.
2.已知命题p:若x=-1,则向量a=(1,x)与b=(x+2,x)共线,则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 向量a,b共线x-x(x+2)=0x=0或x=-1,
∴命题p为真,其逆命题为假,
故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为2.
3.(2015·重庆)“x>1”是“(x+2)<0”的( )
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 x>1x+2>3(x+2)<0,(x+2)<0x+2>1x>-1,故“x>1”是“(x+2)<0”成立的充分不必要条件.因此选B.
4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“AB”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 a=3时,A={1,3},显然AB.
但AB时,a=2或3.所以A正确.
5.(教材改编)下列命题:
①x=2是x2-4x+4=0的必要不充分条件;
②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件;
③sin α=sin β是α=β的充要条件;
④ab≠0是a≠0的充分不必要条件.
其中为真命题的是________(填序号).
答案 ②④
题型一 命题及其关系
例1 (1)命题“若x,y都是偶数,则x+y也是偶数“的逆否命题是( )
A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数
B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数
C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数
D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数
(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
答案 (1)C (2)B
解析 (1)由于“x,y都是偶数”的否定表达是“x,y不都是偶数”,“x+y是偶数”的否定表达是“x+y不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数”.
(2)先证原命题为真:当z1,z2互为共轭复数时,设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi,则|z1|=|z2|=,
∴原命题为真,故其逆否命题为真;再证其逆命题为假:取z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,但是z1,z2不互为共轭复数,∴其逆命题为假,故其否命题也为假,故选B.
思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:
①对于不是“若p,则q“形式的命题,需先改写;
②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.
(2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.
(3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假.
(1)命题“若α=,则cos α=”的逆命题是( )
A.若α=,则cos α≠
B.若α≠,则cos α≠
C.若cos α=,则α=
D.若cos α≠,则α≠
(2)已
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