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矩阵在实际生活中的应用 华中科技大学文华学院 城市建设工程学部 环境工程1班 刘丛 目录 摘要……………………………………………………………… 3 实际应用举例…………………………………………………… 4 论文总结………………………………………………………… 15 参考文献………………………………………………………… 16摘要：随着现代科学的发展，数学在经济中广泛而深入的应用 是当前经济学最为深刻的因素之一，马克思曾说过：“一门学科 只有成功地应用了数学时，才真正达到了完善的地步”。下面 通过具体的例子来说明矩阵在经济生活中、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理的应用。 关键词：矩阵、人口流动、电阻电路、密码学、文献管理 一：矩阵在经济生活中的应用 1．“活用”行列式定义 定义：用符号表示的n阶行列式D指的是n!项代数和，这些项是一切可能的取自D不同行与不同列上的n个元素的乘积的符号为。由定义可以看出。n阶行列式是由n!项组成的，且每一项为来自于D中不同行不同列的n个元素乘积。 实例1：某市打算在第“十一”五年规划对三座污水处理厂进行技术改造，以达到国家标准要求。该市让中标的三个公司对每座污水处理厂技术改造费用进行报价承包，见下列表格(以1万元人民币为单位)．在这期间每个公司只能对一座污水处理厂进行技术改造，因此该市必须把三座污水处理厂指派给不同公司，为了使报价的总和最小，应指定哪个公司承包哪一座污水处理厂? 设这个问题的效率矩阵为，根据题目要求，相当于从效率矩阵中选取来自不同行不同列的三个元素“和”中的最小者!从行列式定义知道，这样的三个元素之共有31=6(项)，如下： 由上面分析可见报价数的范围是从最小值54万元到最大值58万元。由④得到最小报价总数54万元，因此，该城市 应选定④即 “借用”特征值和特征向量 定义：“设A是F中的一个数．如果存在V中的零向量，使得，那么A就叫做的特征值，而叫做的属于本征值A的一个特征向量。 实例2：发展与环境问题已成为21世纪各国政府关注 和重点，为了定量分析污染与工业发展水平的关系，有人提 出了以下的工业增长模型：设是某地区目前的污染水平 (以空气或河湖水质的某种污染指数为测量单位)，是目前 的工业发展水平(以某种工业发展指数为测量单位)．若干年 后(例如5年后)的污染水平和工业发展水平分别为和 它们之间的关系为 试分析若干年后的污染水平和工业发展水平。对于这个 问题，将(1)写成矩阵形式，就是 由此可预测若干年后的污染水平与工业 发展水平为原来的4倍。 二：人口流动问题（矩阵高次幂的应用） 设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作，假定这个总人数在若干年内保持不变，而社会调查表明： 在这30万就业人员中，目前约有15万人从事农业，9万人从事工业，6万人经商； 在务农人员中，每年约有20%改为务工，10%改为经商； 在务工人员中，每年约有20%改为务农，10%改为经商； 在经商人员中，每年约有10%改为务农，10%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数，以及经过多年之后，从事各业人员总数之发展趋势。 现做如下解答： 若用三维向量(xi,yi,zi)T 表示第i年后从事这三种职业的人员总数，则已知(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T。而欲求(x1,y1,z1)T，(x2,y2,z2)T 并考察在n→∞时(xn,yn,zn)T的发展趋势。 依题意，一年后，从事农、工、商的人员总数应为 X1=0.7x0+0.2y0+0.1z0 Y1=0.2x0+0.7y0+0.1z0 Z1=0.1x0+0.1y0+0.8z0 即 X1 0.7 0.2 0.1 x0 x0 Y1 = 0.2 0.7 0.1 y0 = A y0 Z1 0.1 0.1 0.8 z0 z0 以(x0,y0,z0)T=(15,9,6)T代入上式，即得 X1 12.9 Y1 = 9.9 Z1 7.2 即一年后从事各业人员的人数分别为12.9万、9.9万、7.2万人。 以及 X2 x1 x0 11.73 Y2 = A y1 = A2 y0 = 10.23 Z2 z1 z0 8.04 即两年后从事各业人员的人数分别为11.73万、10.23万、8.04万人。 进而推得 xn xn-1 x0 yn =A yn-1 = An y0 zn zn-1 z0 即n年之