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有限维线性空间的基 杨忠鹏　晏瑜敏　戴培培 莆田学院数学系 　　　祝各位老师新年快乐！ * * 1．基 2．维数 3．坐标 一、数域 上有限维线性空间 的三要素： 维数是 的唯一的本质特征，在同构意义下 的研究可归结为 的讨论。 基一般是不唯一的，在线性运算下，对具体的 线性空间 来说，可由一组基来把握。 正如[1，P171]所说：“给定有限维的向量空间， 要求其维数，首先要抓‘基’”。 关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下 基本结论（见[2]，P330）: 设 是数域 上线性空间， 是 的一组基； （1） 但 线性相关， （2） 线性无关， 则下列陈述彼此等价： （4） ，且 经 线性表示的表法唯一； （6） 且 都可经 唯一地线性表示； （3） （5） ，且 线性无关； （7） 二、常见线性（子）空间的基与维数 1．这是基本的习题内容 [3，习题6]的3（有8个小题）、8（有4个小题）、 13（有3个小题）、14、16、17、18题。 　 　 2．常见的线性（子）空间的标准基 （1） （2） （3） （4） （5） 三、n维线性空间 的基的确定 1. 从一组给定的基 出发，可构造出所有（无穷多）的不同的 的基. 是可逆的 线性无关 为 的基. 2. 指定条件下的线性空间基的确定. 例1.设 是数域 上n维线性空间 的 任意 s 个非平凡子空间. 试证：存在 的一个基， 使这个基的n个基向量均不在 中. （见[2，p213],[4,p213],[5,p196]） 例2（见[3，补充题4]）设 是线性空间 的 两个非平凡子空间. 证明：在 中存在 使 同时成立. 例3（见[3，补充题5]）设 是线性 空间 的s个非平凡子空间，证明： 中至少有一 个向量不属于 中任何一个。 例4（见[6]） 设 为数域 上n维线性空间(n≥1). 证明： 必存在 中一个无穷的向量序列 使得 中任何n个向量都是 的一组基. 同样，依次取向量 使得 取另一向量 则显然有从以上n+1向量中选出n个均可作为n维 线性空间的一组基. 证明：采用构造法. 取n维线性空间的一组基 这样得到一个无穷的向量序列 … … ， 下证，从中任选n个，它们均线性无关. 从而不妨任选 令 得 从构造中易得， 从而 （*） 又 可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行列式不为零, 从而它们均线性无关，故问题得证. 也即，方程组（*）仅有平凡解，即 这是因为 为范德蒙行列式. 实际上，更简单的方法来构造，令 则 是无关的. 例5 （见[7，p49]）Again let V be the space of matrices over F. Find a basic for V such that for each i. 这个结论对 也是成立的. 为 的幂等基. 例6 （见[8，定理1]） 具有无穷多个幂等基. 例7 （见[2，p319]）设V是数域 P上全体二阶 对称矩阵所成的线性空间，证明： 与 都是V 的基. 问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？ 若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？ 参考文献 [1] 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数（上册）， 福建教育出版社，1991，福州