有限元思路框图.ppt

形 函 数 i, j, m 在单元任一点上三个形函数之和等于1 第一列与它的代数余子式之和 第一列与第二列的代数余子式之和 第一列与第三列的代数余子式之和 1.三个形函数只有两个是独立的 2 当三角形单元的三个结点的位移相等 x y N （I，j，m） Ni =1 i j m Nj =1 i j m Nm =1 i j m Ni =1 i j m Nj =1 Nm =1 图2-4 上图说明：形函数是线性的 （1）单元位移场是线性的； （2）单元位移场与结点位移是协调的； （3）结点位移将影响位移场的数值大小 性质3 在三角形单元的边界ij上任一点（x，y），有: x xi xj x y N i(xi，yi) j (xj，yj) m (xm，ym) Ni(x、y) 1 证 图2-5 性质4 形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为 （2-23） 式中 为 边的长度。 相邻单元的位移在公共边上是连续的 i j p m x xi xj x y N i(xi，yi) j (xj，yj) m (xm，ym) Ni(x、y) 1 Ni =1 i j m 2.3 单元应变矩阵和应力矩阵 式（2-6）给出了单元内任一点的应变和位移之间关系。 （2-6） 1、单元应变矩阵 对位移函数（式（2-16）） （2-24） （2-16） 求导后代入式（2-6），得到应变和节点位移的关系式。 （2-25） 式中, [B]——单元应变矩阵。 对本问题，维数为3×6。它的分块形式为： 子矩阵: （2-26） 由于 与x、y无关，都是常量，因此[B]矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是[B]矩阵与单元节点位移的乘积，因而也都是常量。因此，这种单元被称为常应变单元。 2、单元应力矩阵 将式（2-25）代入物理方程式（2-8），得 （2-8） （2-27） 上式也可写为： （2-28） 这是单元内任一点应力与单元位移的关系式。其中[S]称为单元应力矩阵，并有： （2-29） [D]是3×3 弹性矩阵，[B]是3×6应变矩阵，因此[S]也是3×6 矩阵。它可写为分块形式 （2-30） 将弹性矩阵（式（2-9））和应变矩阵（式（2-26））代入，得子矩阵[Si] 由式（2-29）得： （2-31） 式（2-31）是平面应力问题的结果。对于平面应变问题，只要将上式中的E换成 ，?换成 即得。 （2-32） 由于同一单元中的[D]、[B]矩阵都是常数矩阵，所以[S]矩阵也是常数矩阵。也就是说，三角形三节点单元内的应力分量也是常量。 当然，相邻单元的E，?，A和bi、ci(i，j，m)一般不完全相同，因而具有不同的应力，这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小，平衡被满足。 几何关系位移函数 几何关系 ? 平衡关系 单元刚度矩阵 2.4 单元应变能和外力势能的矩阵表达 1、 单元应变能 仍以平面应力问题中的三角形单元说明，设单元厚度为h 将式（2-25）和（2-27）代入上式进行矩阵运算，并注意到弹性矩阵[D]的对称性，有 应变能 U为： i j m x y h 由于???和???T是常量，提到积分号外，上式可写成 引入矩阵符号[k]，且有： （2-33a） 式（2-33a）是针对平面问题三角形单元推出的。注意到其中hdxdy的实质是任意的微体积dv，于是得 [k]的一般式。 （2-33） 式（2-33）不仅适合于平面问题三角形单元，也是计算各种类型单元[k]的一般式。 2.6节中将明确[k]的力学意义是单元刚度矩阵。式（2-33）便是计算单元刚度矩阵的基本矩阵式。它适合于各种类型的单元。 单元应变能写成 （2-34） 2、 单元外力势能 单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。 （2-33） （1） 体积力势能 单位体积中的体积力如式（2-2）所示。 单元上体积力具有的势能Vv为 （2-2） i j m x y · qVx qVy i j m x y · u v 注意到式（2-20） 有 （2-20） （2） 表面力势能 面积力虽然包括单元之间公共边上互相作用的分布力，但它们属于结构内力，成对出现，集合时互相抵消，在结构整体分析时可以不加考虑，因此单元分析时也就不予考虑。 现在，只考虑弹性体边界上的表